第二章 逻辑代数

第二章 逻辑代数

2.1基本概念

2.1.1 基本逻辑运算

• 与逻辑

  • 定义：当决定一事件的所有条件都具备时，事件才发生的逻辑关系。

  • 电路关系图：

    

  • 表示方法：

    • 逻辑函数式： $Y = AB$

    • 逻辑符号：与门

      

• 或逻辑

  • 定义：决定一事件结果的诸条件中，只要有一个或一个以上具备时，事件就会发生的逻辑关系。

  • 电路关系图：

    

  • 表示方法：

    • 逻辑函数式： $Y = A + B$

    • 逻辑符号：或门

      

• 非逻辑

  • 定义：只要条件具备，事件便不会发生；条件不具备，
    事件一定发生的逻辑关系。

  • 电路关系图：

    

  • 表示方法：

    • 逻辑函数式： $Y = \overline{A}$

    • 逻辑符号：非门

      

2.1.2 复合逻辑运算

• 与非逻辑 (NAND):

  • 逻辑函数： $Y_1 = \overline{AB}$

  • 符号：

    

• 或非逻辑 (NOR)：

  • 逻辑函数： $Y_2 = \overline{A + B}$

  • 符号：

    

• 与或非逻辑 (AND – OR – INVERT)：

  • 逻辑函数： $Y_3 = \overline{AB + CD}$

  • 符号：

    

• 异或逻辑 (Exclusive—OR)：

  • 逻辑函数： $Y_4 = A \bigoplus B = A\overline{B} + \overline{A}B$

  • 符号：

    

• 同或逻辑 (Exclusive—NOR)：

  • 逻辑函数： $Y_5 = \overline{A \bigoplus B} = A \bigodot B$

  • 符号:

    

• 逻辑符号对照
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2.1.3 公式和定理

一、 常量之间的关系

• 与：
  • $0 · 0 = 0$
  • $0 · 1 = 0$
  • $1 · 1 = 1$
• 或：
  • $1 + 1 = 1$
  • $1 + 0 = 1$
  • $0 + 0 = 0$
• 非：
  • $\overline{0}=1$
  • $\overline{1}=0$

二、变量和常量的关系

• 与：
  • $A · 1 = A$
  • $A · 0 = 0$
• 或：
  • $A + 0 = A$
  • $A + A = 1$
• 非：
  • $A · \overline{A}=0$
  • $A + \overline{A}=1$

三、与普通代数相似的定理

• 交换律：
  • $A\cdot B = B\cdot A$
  • $A + B = B + A$
• 结合律：
  • $(A\cdot B)\cdot C = A\cdot (B\cdot C)$
  • $(A+B)+C=A+(B+C)$
• 分配律：
  • $A(B+C) = AB +AC$
  • $A+BC=(A+B)(A+C)$（由消去性可推导出）

四、逻辑代数的一些特殊定理

• 同一律：
  • $A\cdot A = A$
  • $A+A=A$
• 德摩根定理：（重点）
  • $\overline{A\cdot B}=\overline{A}+\overline{B}$
  • $\overline{A+B}=\overline{A}\cdot \overline{B}$
• 还原律：
  • $\overline{\overline{A}}=A$

五、关于等式的三个规则

• 代入规则

• 反演规则

• 对偶规则

六、若干常用公式

2.2 逻辑函数

2.2.1 逻辑函数的基本形式

• 逻辑变量：在逻辑代数中，用英文字母表示的变量称为逻辑变量。在二值逻辑中，变量的取值不是 1 就是 0。

• 原变量和反变量：

  • 字母上面无反号的称为原变量
  • 字母上面有反号的叫做反变量

• 逻辑函数：如果输入逻辑变量 $A、B、C \cdots$ 的取值确定之后，输出逻辑变量 Y 的值也被唯一确定，则称 $Y$ 是 $A、B、C \cdots$的逻辑函数。并记作 $Y = F(A,B,C\cdots)$

  • 与-或表达式：
    • 定义：由若干与项进行或运算构成的表达式，或称为积之和。
    • 例如： $L=A\cdot C+\overline{C}\cdot D$
  • 或-与表达式
    • 定义：由若干或项进行与运算构成的表达式，或称为和之积。
    • 例如：$L=(A+C)\cdot (B+\overline{C})\cdot D $

2.2.2 最小项

• 最小项

  • 定义：对于由 $n$个变量的逻辑函数，若有一个乘积项包含全部的 $n$个变量，每个变量都以它的原变量或非变量的形式在乘积项中出现，且仅出现一次，则称该乘积项为最小项。
  • 编号：最小项一般用 $m_i$表示，下标 $i$就是最小项的编号，用十进制表示。即，将最小项中的原变量用 $1$表示，非变量用 $0$表示，所组成的二进制数转化为十进制数就是该项的编号。
  • 例如： $\overline{A}BC$的二进制表示为 $011$，即为 $m_3$。
  • 性质：
    • 任一最小项，只有一组对应变量取值使其值为 $1$，其余各组取值均为 $0$。
    • 任意两个最小项的乘积为 $0$。
    • 全体最小项之和为 $1$。
    • $n$ 变量共有 $2^n$ 个最小项。

• 最小项表达式

  • 定义：由若干最小项或构成的逻辑表达式，也称为标准与-或表达式。
  • 表达形式：为了简便，在表达式中常用最小项的编号表示。
    • 例如： $L(A,B,C)=ABC+AB\overline{C}+\overline{A}BC+\overline{A}\overline{B}C=m_1+m_3+m_6+m_7=\sum m(1,3,6,7)$

2.2.3 最大项

• 最小项

  • 定义：对于由 $n$个变量的逻辑函数，若有一个或项包含全部的 $n$个变量，每个变量都以它的原变量或非变量的形式在或项中出现，且仅出现一次，则称该或项为最大项。
  • 编号：最大项一般用 $M_i$表示，下标 $i$就是最大项的编号，用十进制表示。即，将最大项中的原变量用 $0$表示，非变量用 $1$表示，所组成的二进制数转化为十进制数就是该项的编号。
  • 例如： $\overline{A}BC$的二进制表示为 $100$，即为 $M_4$。
  • 性质：
    • 任一最大项，只有一组对应变量取值使其值为 $0$，其余各组取值均为 $1$。
    • 任意两个最大项的和为 $1$。
    • 全体最大项的积为 $0$。
    • $n$ 变量共有 $2^n$ 个最大项。

• 最大项表达式

  • 定义：由若干最大项与构成的逻辑表达式，也称为标准或-与表达式。
  • 表达形式：为了简便，在表达式中常用最大项的编号表示。
    • 例如： $L(A,B,C)=(\overline{A}+B+C)\cdot (\overline{A}+B+\overline{C})\cdot (A+B+C)\cdot (A+\overline{B}+C)=M_4\cdot M_5\cdot M_0\cdot M_2=\Pi M(0,2,4,5)$

• 最小项与最大项的关系

  • 最小项与最大项之间互补： $m_i=\overline{M_i}$

2.3 逻辑函数的化简

• 并项法：利用 $A+\overline{A}=1$将两项合并。

• 吸收法：利用 $A+AB=A$消去多余项 $AB$。

  • 证明：

    $L=A+AB$

    ​ $=A(1+B)$

    ​ $=A\cdot 1$

    ​ $=A$

• 消去法：利用 $A+\overline{A}B=A+B$来消去化简。

  • 证明：
    $L=A+\overline{A}B$

    ​ $=\overline{\overline{A}\cdot \overline{\overline{A}B}}$

    ​ $=\overline{\overline{A}(A+\overline{B})}$

    ​ $=\overline{\overline{A}A+\overline{A}\overline{B}}$

    ​ $=\overline{\overline{A}\overline{B}}$

    ​ $=A+B$

• 配项法：利用 $A=A(B+\overline{B})$ 来增加必要的乘积项再化简。

  • $AB+\overline{A}C+BC=AB+\overline{A}C$

  • 证明：

    $L=AB+\overline{A}C+BC$

    ​ $=AB+\overline{A}C+(A+\overline{A})BC$

    ​ $=AB + \overline{A}C+ABC+\overline{A}BC$

    ​ $=AB+\overline{A}C$（吸收法）

2.4 卡诺图化简法

2.4.1 卡诺图

• 卡诺图
  • 定义：将一个逻辑函数的最小项表达式中的各个最小项相应地填入一个特定的方格内，此方格图称为卡诺图。
  • 特点：几何位置相邻的最小项在逻辑上也相邻。