数字逻辑第二章笔记

逻辑运算

与逻辑

或逻辑

事物因果之间遵循的规律称为逻辑

逻辑运算

在逻辑代数当中，将食物之间最基本的逻辑关系定义为与、或、非三种，其他逻辑关系则可以看作是基本逻辑关系的组合

与逻辑

假设确定某一个事件发生的条件共有n(n>=2)个，只有当所有条件都满足时，事件才会发生，这种逻辑关系称为与(AND)逻辑，或称为与运算。可以理解为电路之中的串连

A	B	Y
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

从真值表可以看出，与逻辑运算规律和代数中的乘法运算规律相同，因此与逻辑也称为逻辑乘法，其运算表达式记为 $Y=$ $A\cdot B$ ，或者简写为 $Y= AB$

或逻辑

假定决定某一个事件发生的i傲剑共有n(n>=2)个，至少有一个条件满足时，事件就会发生，这种逻辑关系称为或(OR)逻辑，也称为或运算，可以理解为电路中的并联

A	B	Y
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

从真值表中可以看出，逻辑或也可以成为逻辑加法，即 $Y= A+B$ ，在或逻辑当中1 + 1 = 1，反映事物的因果关系

非逻辑

决定某一事件只有一个条件，当条件满足时不发生，当条件不满足时事件则会发生，这种关系称为逻辑(NOT)非关系，或者称为逻辑反

A	Y
1	0
0	1

从真值表中可以得到 $Y= A{}'$ 或者 $Y= \overline{A}$ ，读作Y等于A非或者Y等于A反

与非逻辑

先与后非

$Y=\left ( AB \right ){}'$

真值表

A	B	Y
0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	0

或非逻辑

先或后非

$Y=\left ( A+B\right ){}'$

真值表

A	B	Y
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0

异或逻辑

异1同0

真值表

即 $Y= A\oplus B$

A	B	Y
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

同或逻辑

同1异0

真值表

即 $Y= A\bigodot B$

A	B	Y
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

同或与异或互为反运算

$A\bigoplus B=\left ( A\bigodot B \right ){}'$ $A\bigodot B=\left ( A\bigoplus B \right ){}'$

因此，同或也称为异或非运算

逻辑代数中的公式

基本公式

1.常量与常量的运算关系

0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 0 * 0 = 0 0 * 1 = 0 0‘ = 1

1 + 0 = 1 1 + 1 = 1 1 * 0 = 0 1 * 1 = 1 1’ = 0

2.常量与变量的运算关系

0律：0 + A = A 0 * A = 0

1律：1 + A = 1 1 * A = A

0律反映了逻辑常量0和逻辑变量之间的运算关系，1律反映了逻辑常量1和逻辑变量之间的运算关系

3.变量与变量的运算关系

<1>重叠律 A + A = A A * A = A

<2>互补律 A + A' = 1 A * A' = 0

<3>交换律 A + B = B + A A * B = B * A

<4>结合律 A + (B + C) = (A + B) + C A * (B * C) = (A * B) * C

<5>分配律 A(B + C) = AB + AC A + BC = (A + B)(A + C)

<6>还原律 A'' = A

<7>德摩根定理 (AB)' = A' + B' (A + B)' = A'B'

常用公式

1.吸收公式

A + AB = A

推理：A * 1 + AB = A(1 + B) = A * 1 = A

2.消因子公式

A + A'B = A + B

推理：A + A'B = (A + A')(A + B) = A + B

3.并项公式

AB + AB' = A

推理：AB + AB' = A(B + B') = A * 1 = A

4.消项公式

AB + A'C + BC = AB + A'C

推理：AB + A'C + BC = AB + A'C + (A + A')BC = AB + A'C + ABC + A'BC = (AB + ABC) + (A'C + ABC') = AB + A'C

关于异或逻辑

1.与常量的关系： $A\bigoplus 0 = A$ $A\bigoplus 1 = A'$

2.交换律： $A\bigoplus B = B\bigoplus A$

3.结合律： $A\bigoplus \left ( B \bigoplus C \right ) = \left ( A\bigoplus B \right )\bigoplus C$

4.分配律： $A\left ( B\bigoplus C \right ) = \left ( AB \right )\bigoplus \left ( AC \right )$

5.定理：如果 $A\bigoplus B = C$ 那么 $A\bigoplus C = B$ , $B\bigoplus C = A$

三种规则

代入规则

代入规则是指对于任何一个包含变量X的逻辑等式，若将等式中所有的X用另外一个逻辑式替换，那么等式仍然成立

反演规则

求逻辑函数反函数的过程称为反演

对于任意一个逻辑式Y，若在式中做以下三类变换：

1.将式子当中的所有*换成+，+换成*

2.将所有常量0换成1，1换成0

3.将原变量换成反变量，反变量换成原变量

注意：

1.注意运算的优先顺序

2.不属于单个变量上的非号保留不变

对偶规则

在解释对偶规则之前，首先定义对偶式

对于任意逻辑式Y，若在式中做以下两类变换：

1.将所有的*换成+，+换成*

2.将所有的常量0换成1，1换成0

将得到一个新的逻辑式，这个新定义的逻辑式为原来逻辑式的对偶式即为 $Y^{D}$

对偶规则是指，对于两个逻辑式Y1和Y2，若Y1=Y2，则 $Y1^{D} = Y2^{D}$

逻辑函数的表示方法

对于任意一个逻辑式Y，当逻辑变量的取值确定以后，运算结果便随之确定，因此运算结果与逻辑变量之间是一种函数关系，称为逻辑函数

在逻辑代数中，逻辑变量习惯于用单个大写的英文字母A、B、C表示，运算结果习惯于用Y或Z等字母表示，因此逻辑函数一般表示为Y = F(A,B,C,...)，其中F表示一种函数关系

真值表

对你没看错就是离散数学当中的真值表，真值表能够详尽地反应逻辑结果与变量取值之间的关系，是逻辑函数常用的一种表示方法，同时真值表也与逻辑函数的标准形式之间存在对应的关系

函数表达式

对于三人表决问题，仅仅有任意其二人同意即可，不管第三人是否同意

因此可列出逻辑表达式Y = AB + AC + BC

逻辑图

例如

表示方法的相互转换

真值表、函数表达式和逻辑图是逻辑函数的不同表达形式，可以进行相互转换

1.根据函数表达式画出逻辑图

2.从逻辑图写出函数表达式

3.从函数表达式列出真值表

4.从真值表写出函数表达式

<1>找出真值表当中所有使Y = 1的输入变量取值组合

<2>每个取值组合对应一个乘积项，其中取值为1的写为原变量，取值为0的写为反变量

<3>将这些乘积项相加，即可得到Y的逻辑函数式

逻辑函数的标准形式

Y = A + BC(与或式)

Y = (A + B)(A + C)(或与式)

Y = (A'(BC)')'(与非-与非式)

Y = ((A + B)' + (A + C)')'(或非-或非式)

另外由其反函数带来另外四种形式：或非或式、与非与式、或与非式、与或非式一共这8种形式

根据实现器件的种类不同，有时需要在不同形式之间进行转换。为了方便讨论，首先为逻辑函数定义两种标准形式：最小项表达式和最大项表达式

最小项表达式

在介绍最小项表达式之前，先定义最小项。在n变量逻辑函数种，每一个变量都参加，并且只能以原变量或者反变量出现一次所组成的与项称为最小项，用m表示，由于每个变量都参加，所以最小项取值为1的概率式最小的，故得名

一般地，n变量逻辑函数共有2^n个最小项，当逻辑函数的变量数变多时，书写和识别最小项越麻烦，因此有必要给最小项进行编号

最小项的编号方法：在最小项中，原变量记为1，反变量记为0，将得到的数码看成二进制数，那么与该二进制数对应的十进制数就是该最小项的编号

最小项的重要性质

1.对于输入变量的任意一组取值组合，必有一个最小项，而且仅有一个最小项为1

2.同一逻辑函数的所有最小项之和为1

3.任意两个最小项的乘积为0

4.只有一个变量不同的两个最小项称为相邻最小项，在逻辑函数式中，两个相邻最小项可以合并成一项，并消去一对因子

最小项的性质4是用卡诺图化简逻辑函数的理论基础

全部由最小项相加构成的与或式称为最小项表达式

由真值表直接写出的函数表达式即为最小项表达式

最大项表达

在n变量逻辑函数中，每一个变量都参加，并且只能以原变量或者反变量出现一次所组成的或项，称为最大项，用M表示。由于每个变量都参加，故最大项取值为1的概率是最大的，故得名

一般地，n变量逻辑函数共有2^n个最大项，最大项的编号方法：在最大项中，原变量记为0，反变量记为1，将得到的数码看成二进制数，那么与该二进制数对应的十进制数就是该最大项的编号

最大项的重要性质

1.对于输入变量的任意一组取值组合，必有一个最大项，而且仅有一个最小项为0

2.同一逻辑函数的所有最小项之积为0

3.任意两个最大项之和为1

4.只有一个变量不同的两个最小项称为相邻最大项，在逻辑函数式中，两个相邻最大项之积等于各相同变量之和，例如Y = (A + B + C)(A + B' + C) = A + C

全部由最大项相乘构成的或与式称为最大项表达式

由此可以得出最大项表达式的一般写法

1.找出真值表中所有使Y = 0的输入变量的取值组合

2.每个取值组合对应一个最大项，其中值为0的写原变量，值为1的写反变量

3.将这些最大项相乘，即得到Y的最大项表达式

标准与或式->(反函数)->两侧同时取反->标准或与式

逻辑函数的化简

利用最小项表达式画出卡诺图即可，逻辑函数中存在某个最小项，就在相应的最小项之中写1，否则写0，注意卡诺图的两组变量是按照循环码取值而并非二进制码递增，因此可简单理解为一个有i行j列的卡诺图其中的元素先第j - 1与第j列互换，而后第i - 1行与第i行互换

卡诺图示例

卡诺图的关键：消异取同

在卡诺图中，如果有2^n(n为正整数)各最小项相邻并排成一个矩形，则他们可以合并成一项，并消去n对因子。化简步骤：

1.先将逻辑函数时展开为最小项表达式

2.画出该逻辑函数的卡诺图

3.观察可以合并的最小项，寻找最简化简方法，原则是圈数越少越好，圈越大越好

需要注意的式，卡诺图中的圈应覆盖图中所有的最小项，如果某个最小项与其他最小项都不相邻，那么也需要用一个圈圈起来表示化简为一项

无关项及其应用

n变量逻辑函数共有2^n个取值，但对于一些实际问题，有些取值组合并没有实际意义。在问题当中，不能去的取值对应的最小项称为该逻辑问题的约束项。由最小项的性质可得，在正常取值的情况下，约束项的值恒为0，即约束项之和为0，该式子称为逻辑问题的约束条件(约束方程)

由于在正常情况下，约束项的值恒为0，所以将约束项写入函数表达式或者不写入，对于逻辑函数并没有影响，但是对于卡诺图时则会有差异，写入约束项时在对应的格子中应填1，不写入时应填0，也就是说在卡诺图当中，在约束项对应格子填1或0都可，所以我们填X表示即可1也可0

有时还会遇到另外的一些实际问题，在变量的某些取值下定义函数值为1或者为0并不影响电路的逻辑功能，那么这些取值所对应的最小项称为该逻辑问题的任意项

在逻辑代数中，将约束项和任意项统称为无关项，用d来表示

本章小结

逻辑代数是处理事物因果关系的数学，定义了与、或、非、与非、或非、以及异或、同或七种逻辑运算，其中异或逻辑和同或逻辑为两变量逻辑函数

逻辑代数中的基本公式包含0律和1律，重叠律、互补律和还原律，交换律、结合律和分配律以及德摩根定律，其中德摩根定律反映了逻辑与和逻辑或之间的内在联系和转化关系，应用与逻辑函数形式的变换

逻辑代数中的常用公式是指由基本公式推导出来的实用公式，包括吸收公式、并项公式、消因子公式和消项公式，主要用于逻辑函数的公式法化简

逻辑代数有代入、反演和对偶三种基本规则。代入规则能够扩大逻辑等式的应用范围，反演规则用于求解逻辑函数的反函数，而对偶规则是逻辑代数内在特性的表现

逻辑函数是表示事物逻辑关系的函数，有真值表、函数表达式、逻辑图、卡诺图和波形图五种表示方法，其中真值表、函数表达式和逻辑图是逻辑函数的三种的基本表示方法。卡诺图既可以表示函数还方便化简逻辑函数，在三变量和四变量逻辑函数的化简中广泛应用

逻辑函数有最小项表达式和最大项表达式两种标准形式，两种标准表现形式与逻辑函数的真值表存在对应关系，可以从真值表中直接推出

逻辑函数的化简有公式法、卡诺图法和Q-M化简法三种。公式法是应用逻辑代数中的基本公式和常用公式化简逻辑函数。卡诺图发具有直观，形象的有点，适合于三变量、四变量逻辑函数的化简。Q-M法是基于列表的逻辑函数化简方法，具有固定的处理模式，适合于应用计算机进行化简，因而在计算机辅助分析和设计中应用广泛

无关项实际指实际问题中的约束项和任意项，合理使用无关项可以简化逻辑电路设计，能够降低电路成本，提高电路工作的可靠性