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Ch02 立方体和 Radon 变换
用
Z2 表示 2 阶循环群,
Z2n 表示本身的
n 次直积,即为
0 和
1 组成的
n 元组
(a1,a2,...,an). 定义如下一个称为
n 维立方体的图
Cn:
Cn 的顶点集为
V=Z2n,两顶点
u 和
v 之间有一条边当且仅当它们有一个坐标不同,也就是说,
u+v 恰有一个坐标非
0.
为了明确地得到
Cn 的特征值和特征向量,采用有限Radon变换。用
V 表示所有函数
f:Z2n→R 的集合,其中
R 表示实数域。(注意
V 是
R 上的
2n 维向量空间)
定义向量空间
V 中两组重要的基。对应于每一个
u∈Z2n 在每组基中都有一个基元。
第一组基
B1 基元
fu 定义如下:
fu(v)=δuv(2.2)
其中
δij 为 Kronecker delta.
B1 是一组基,因为对
∀g∈V 都满足
g=u∈Z2n∑g(u)fu(2.3)
第二组基
B2 基元
Xu 定义如下:
Xu(v)=(−1)u⋅v
2.1 引理
集合
B2={Xu:u∈X2n} 构成了
V 的一组基。
Proof:
证明正交:
<Xu,Xv>=w∈Z2n∑Xu(w)Xv(w)=w∈Z2n∑(−1)(u+v)⋅w={2n,0,when u+v=0ow.
u+v=0 当且仅当
u=v,于是正交。
定义 Radon 变换:
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给定
Z2n 的子集
Γ 和函数
f∈V,定义一个新函数
ΦΓf∈V 为:
ΦΓf(v)=w∈Γ∑f(v+w)
函数
ΦΓf 就称为
f(在群
Z2n 上关于其子集
Γ)的(离散或有限)Radon 变换。
易知
ΦΓ:V→V 是一个线性变换。
2.2 定理
ΦΓ 的特征向量是函数组
Xu,其中
u∈Z2n,对应于
Xu 的特征值
λu(即
ΦΓXu=λuXu)是
λu=w∈Γ∑(−1)u⋅w
Proof:
ΦΓXu(v)=w∈Γ∑Xu(v+w)=w∈Γ∑(−1)u⋅(v+w)=(w∈Γ∑(−1)u⋅w)Xu(v)
因此
ΦΓXu=(w∈Γ∑(−1)u⋅w)Xu
注意到
ΦΓ 的特征向量
Xu 与
Γ 无关;仅特征值依赖于
Γ.
现在可以得到主要结果了。设
Δ={δ1,...δn},其中
δi 是第
i 个单位坐标向量。
δi 的第
j 个坐标正好是
δij(Kronecker delta). 用
[ΦΔ] 表示线性变换
ΦΔ:V→V (关于由(2.2)给出的
V 的基
B1)的矩阵。
2.3 引理
若
AAA(Cn) 为
n 维立方体的邻接矩阵,则
[ΦΔ]=AAA(Cn).
Proof:
ΦΔfu(v)=w∈Δ∑fu(v+w)=w∈Δ∑fu+w(v)
上式是因为
u=v+w 当且仅当
u+w=v(没看懂???). 因此
ΦΔfu=w∈Δ∑fu+w(2.4)
于是
(ΦΔ)uv={1,0,if u+v∈Δow.
u+v∈Δ 当且仅当
u 和
v 仅有一个坐标不同。这正好是
uv 作为
Cn 的边的条件,证毕。
2.4 推论
AAA(Cn) 的特征向量(看作是
Cn 的顶点的线性组合)
Eu(
u∈Z2n)由下式给出
Eu=v∈Z2n∑(−1)u⋅vv(2.5)
对应于
Eu 的特征值是
λu=n−2ω(n)(2.6)
其中
ω(n) 是
u 中
1 的数目(即 Hamming权),因此
AAA(Cn) 有
(in) 个特征值等于
n−2i.
Proof:
根据
(2.3) 对
∀g∈V
g=V∑g(v)fv
对
g=Xu 应用上式,可得
Xu=v∑Xu(v)fv=v∑(−1)u⋅vfv(2.7)
根据定理2.2,对应于
ΦΔ 的特征向量
Xu(或等价地,
AAA(Cn) 的特征向量
Eu)的特征值为
λu=w∈Δ∑(−1)u⋅w=n−2ω(n)(2.8)
至此,我们得到了计算
Cn 中游动条数所需的全部信息。
2.5 推论
设
u,v∈Z2n,且
ω(u+v)=k(即
u 和
v 恰有
k 个坐标不同)。则在
Cn 中
u 与
v 之间长为
l 的游动的条数为
(AAAl)uv=2n1i=0∑nj=0∑k(−1)j(jk)(i−jn−k)(n−2i)l(2.9)
注意到如果
j>i,则
(i−jn−k)=0
特别地,
(AAAl)uu=2n1i=0∑n(in)(n−2i)l(2.10)
Proof:
令
Eu′=22n1Eu 得到一组标准正交基,根据推论1.2,可得
(AAAl)uv=2n1w∈Z2n∑EuwEvwλwl
Euw 是展开式
(2.5) 中
fw 的系数,即
Euw=(−1)u⋅w,而
λw=n−2ω(w). 因此
(AAAl)uv=2n1w∈Z2n∑(−1)(u+v)⋅w(n−2ω(n))l(2.11)
ω(w)=i,且与
u+v 有
j 个公共
1 的向量
w 的个数为
(jk)(i−jn−k),
(2.11) 就化简为
(2.9),证毕。