MIT线程代数课程精细笔记

第一步：解方程

学习线程代数的有关知识，从解方程谈起，学习线性数的应用之一就是求解复杂方程问题，从行图像和列图的角度解方程

第二步：方程组的几何解释基础

$\left\{\begin{matrix} 2x-y=0 & & \\ -x+2y=3 & & \end{matrix}\right.$

我们首先按行将方程为矩阵形式

$\begin{bmatrix} 2 & & -1\\ -1 & & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0\\ 3 \end{bmatrix}$

系数矩阵未知向量向量

系数矩阵（A）:将方程系统按行提取出来，按列构成一个向量

向量（b）:将等号右侧结按列

按下来，我们们通过行图像求解这个方程

所谓行图像，就是在系数矩阵上，一次取一行构成方程，在坐标系上作图，和我们初等数学中学习的作图求解方程的过程无异。

画图，得出相交的点

第三步：二维的列图像

从列图像解度，我们再求解这个方程

$\left\{\begin{matrix} 2x-y=0 & & \\ -x+2y=3 & & \end{matrix}\right.$

这一次我们求解过程中，我们将方程按列提取，使用的矩阵为：

$x\begin{bmatrix} 2 & \\-1 \end{bmatrix}+y\begin{bmatrix} -1 & \\2 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0 & \\3 \end{bmatrix}$

如上我们使用列向量构成系数矩阵，将问题化为向量 $\begin{bmatrix} 2 & \\-1 \end{bmatrix}$ 与两只量 $\begin{bmatrix} -1 & \\2 \end{bmatrix}$ 正确组合，使用构成 $\begin{bmatrix} 0 & \\3 \end{bmatrix}$

接下来来我们使用列图像求解此方程

即寻找合适的x,y使用x倍（2，-1）+ y倍的（-1，2）得到最终的向量（0，3）。很明显能看出来，1部（2，-1）+2倍（-1，2）即满足条件

反映在图像上，明显结果正确

我们再想一想，仅仅对于 $x\begin{bmatrix} 2 & \\-1 \end{bmatrix}+y\begin{bmatrix} -1 & \\2 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0 & \\3 \end{bmatrix}$ 这个方程，如果我们任意取x和y，那么我们得到的是什么呢，能得到任意方向的向量，这些向量布满整个平台，

第四步方程组的几何解释推广

高维行图像

我们将方程维度推广，从三维开始 $\left\{\begin{matrix} 2x-7=0 & & \\ -x+2y-z=-1& & \\ -3y+4z=4 & & \end{matrix}\right.$ ,如果我们继续我们使用做行图像求解，那么得到一个很复杂的图像。

矩阵如下：

$\begin{bmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1&2 &-1 \\ 0&3 & 4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x & \\ y& \\ z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & \\ -1& \\ 4 \end{bmatrix}$