矩阵加减

已知 $A=\begin{pmatrix}1&3\\2&4\\5&6\end{pmatrix}$ , $B=\begin{pmatrix}7&8\\9&10\\11&12\end{pmatrix}$ ，求 $2A+3B$ ?

对于单个数值与矩阵的乘法其规则为，矩阵中的每一个数值分别与该数相乘
对于矩阵的加减，其规则为 $A_{ij}$ 与 $B_{ij}$ 的元素相加减
因此，原式
$2A+3B=2*\begin{pmatrix}1&3\\2&4\\5&6\end{pmatrix}+3*\begin{pmatrix}7&8\\9&10\\11&12\end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix}2&6\\4&8\\10&12\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}21&24\\27&30\\33&36\end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix}2+21&6+24\\4+27&8+30\\10+33&12+36\end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix}23&30\\31&38\\43&48\end{pmatrix}$

矩阵乘法

规则：前行乘后列
$A_{mn}*B_{np}=C_{mp}$ ，即m行n列的矩阵乘n行p列的矩阵，结果是m行p列，也就是说乘积矩阵的行数是由前面矩阵的行数决定，乘积矩阵的列数是由后面矩阵的列数决定的，如果前面矩阵的列数与后面矩阵的行数不等便无法进行矩阵乘法

示例：
已知 $A=\begin{pmatrix}1&3\\2&1\\0&2\end{pmatrix}$ , $B=\begin{pmatrix}1&2&0\\0&1&2\end{pmatrix}$ ，求 $A*B$ ?
原式
$A*B=\begin{pmatrix}1&3\\2&1\\0&2\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}1&2&0\\0&1&2\end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix}1*1+3*0&1*2+3*1&1*0+3*2\\2*1+1*0&2*2+1*1&2*0+1*2\\0*1+2*0&0*2+2*1&0*0+2*2\end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix}1&5&6\\2&5&2\\0&2&4\end{pmatrix}$

特殊性质

任何矩阵乘0矩阵都为0

$M_{0}*A=0$
其中零矩阵 $M_{0}$ 是形如 $M_{0}=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$ 的矩阵

单位矩阵乘任意矩阵得任意矩阵

$E*A=A*E=A$
其中，单位矩阵是形如 $E=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$ 的矩阵
也可推出：
$E^2=E*E=E$

交换矩阵顺序，乘积未必相等

$A*B?=B*A$
很显然，交换矩阵顺序后改变了矩阵的维度关系，例如2 * 3的矩阵与3 * 2的矩阵结果是2 * 2的矩阵，交互顺序后变成3 * 2的矩阵与2 * 3的矩阵相乘，其结果是3 * 3的矩阵。或者在交换之后无法进行矩阵乘法。

矩阵没有除法

$A*X=A*Y\nRightarrow X*Y$

矩阵没有指数结合性质

$(AB)^k\nLeftrightarrow A^k*B^k$

求矩阵的行列式

已知矩阵 $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$ ，求 $|A|?$
求 $|A|$ 即是求A的行列式的值，这里，
$A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}=-2$
一般，
$|\lambda A|=\lambda^n*|A|$
这里， $\lambda$ 是系数，n是阶数（n行n列）
例如已知 $A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}=-2$ ，求 $A=\begin{bmatrix}2&4\\6&8\end{bmatrix}$ ？
原式
$A=\begin{bmatrix}2&4\\6&8\end{bmatrix}$
$=\begin{bmatrix}1*2&2*2\\3*2&4*2\end{bmatrix}$
$=2^2*(-2)=-8$