线性代数复习（3）------矩阵乘法与逆

其他 2020-02-09 10:19:55 阅读次数: 0

线性代数复习（3）------矩阵乘法与逆

矩阵乘法

前提

两个矩阵相乘AB=C，A的列数要等于B的行数，否则无法相乘。

行列相乘

首先是最直接的行列相乘：
[ a 11 . . . a 1 j . . . a 1 m . . . . . . . . . . . . . . . a i 1 . . . a i j . . . a i m . . . . . . . . . . . . . . . a n 1 . . . a n j . . . a n m ] \begin{bmatrix}a_{11} & ... & a_{1j} & ...& a_{1m} \\... & ... & ... & ...& ... \\a_{i1} &... & a_{ij} & ...& a_{im} \\... & ... &... & ...& ... \\a_{n1} & ... & a_{nj} & ...& a_{nm} \\\end{bmatrix} [ b 11 . . . b 1 j . . . b 1 h . . . . . . . . . . . . . . . b i 1 . . . b i j . . . b i h . . . . . . . . . . . . . . . b m 1 . . . b m j . . . b m h ] = \begin{bmatrix}b_{11} & ... & b_{1j} & ...& b_{1h} \\... & ... & ... & ...& ... \\b_{i1} &... & b_{ij} & ...& b_{ih} \\... & ... &... & ...& ... \\b_{m1} & ... & b_{mj} & ...& b_{mh} \\\end{bmatrix}= [ c 11 . . . c 1 j . . . c 1 h . . . . . . . . . . . . . . . c i 1 . . . c i j . . . c i h . . . . . . . . . . . . . . . c n 1 . . . c n j . . . c n h ] \begin{bmatrix}c_{11} & ... & c_{1j} & ...& c_{1h} \\... & ... & ... & ...& ... \\c_{i1} &... & c_{ij} & ...& c_{ih} \\... & ... &... & ...& ... \\c_{n1} & ... & c_{nj} & ...& c_{nh} \\\end{bmatrix}

生成的项中 c i j = ∑ l = 1 m a i l b l j c_{ij}=\sum_{l=1}^ma_{il}b_{lj}
即左边的一行乘右边的一列生成矩阵的一个元素。
由此也可以直接的看出AB与BA是不同的。
在看看前后维度的变化：A是nm，B是mh，生成的C是n*h。

列相乘

[ a 11 . . . a 1 j . . . a 1 m . . . . . . . . . . . . . . . a i 1 . . . a i j . . . a i m . . . . . . . . . . . . . . . a n 1 . . . a n j . . . a n m ] \begin{bmatrix}a_{11} & ... & a_{1j} & ...& a_{1m} \\... & ... & ... & ...& ... \\a_{i1} &... & a_{ij} & ...& a_{im} \\... & ... &... & ...& ... \\a_{n1} & ... & a_{nj} & ...& a_{nm} \\\end{bmatrix} [ b 11 . . . b 1 j . . . b 1 h . . . . . . . . . . . . . . . b i 1 . . . b i j . . . b i h . . . . . . . . . . . . . . . b m 1 . . . b m j . . . b m h ] = \begin{bmatrix}b_{11} & ... & b_{1j} & ...& b_{1h} \\... & ... & ... & ...& ... \\b_{i1} &... & b_{ij} & ...& b_{ih} \\... & ... &... & ...& ... \\b_{m1} & ... & b_{mj} & ...& b_{mh} \\\end{bmatrix}= [ c 11 . . . c 1 j . . . c 1 h . . . . . . . . . . . . . . . c i 1 . . . c i j . . . c i h . . . . . . . . . . . . . . . c n 1 . . . c n j . . . c n h ] \begin{bmatrix}c_{11} & ... & c_{1j} & ...& c_{1h} \\... & ... & ... & ...& ... \\c_{i1} &... & c_{ij} & ...& c_{ih} \\... & ... &... & ...& ... \\c_{n1} & ... & c_{nj} & ...& c_{nh} \\\end{bmatrix}
还是原来的运算，但是我们使用列的线性组合来理解。
[ a 11 . . . a 1 j . . . a 1 m . . . . . . . . . . . . . . . a i 1 . . . a i j . . . a i m . . . . . . . . . . . . . . . a n 1 . . . a n j . . . a n m ] \begin{bmatrix}a_{11} & ... & a_{1j} & ...& a_{1m} \\... & ... & ... & ...& ... \\a_{i1} &... & a_{ij} & ...& a_{im} \\... & ... &... & ...& ... \\a_{n1} & ... & a_{nj} & ...& a_{nm} \\\end{bmatrix} [ b 11 . . . b 1 j . . . b 1 h . . . . . . . . . . . . . . . b i 1 . . . b i j . . . b i h . . . . . . . . . . . . . . . b m 1 . . . b m j . . . b m h ] = \left[ \begin{array} {c| c | c | c | c} b_{11} & ... & b_{1j} & ...& b_{1h} \\... & ... & ... & ...& ... \\b_{i1} &... & b_{ij} & ...& b_{ih} \\... & ... &... & ...& ... \\b_{m1} & ... & b_{mj} & ...& b_{mh} \\ \end{array} \right]= [ c 11 . . . c 1 j . . . c 1 h . . . . . . . . . . . . . . . c i 1 . . . c i j . . . c i h . . . . . . . . . . . . . . . c n 1 . . . c n j . . . c n h ] \left[ \begin{array} {c| c | c | c | c} c_{11} & ... & c_{1j} & ...& c_{1h} \\... & ... & ... & ...& ... \\c_{i1} &... & c_{ij} & ...& c_{ih} \\... & ... &... & ...& ... \\c_{n1} & ... & c_{nj} & ...& c_{ nh} \\ \end{array} \right]
细分到每一列就是：
[ a 11 . . . a 1 j . . . a 1 m . . . . . . . . . . . . . . . a i 1 . . . a i j . . . a i m . . . . . . . . . . . . . . . a n 1 . . . a n j . . . a n m ] \begin{bmatrix}a_{11} & ... & a_{1j} & ...& a_{1m} \\... & ... & ... & ...& ... \\a_{i1} &... & a_{ij} & ...& a_{im} \\... & ... &... & ...& ... \\a_{n1} & ... & a_{nj} & ...& a_{nm} \\\end{bmatrix} [ b 1 j . . . b i j . . . b m j ] = \begin{bmatrix}b_{1j} \\... \\b_{ij} \\... \\b_{mj} \\\end{bmatrix}= [ c 1 j . . . c i j . . . c n j ] \begin{bmatrix}c_{1j} \\... \\c_{ij} \\... \\c_{nj} \\\end{bmatrix}
即列之间的线性组合：
[ a 11 . . . a i 1 . . . a n 1 ] ∗ b 1 j + . . . + \begin{bmatrix}a_{11} \\... \\a_{i1} \\... \\a_{n1} \\\end{bmatrix}*b_{1j}+...+ [ a 1 j . . . a i j . . . a n j ] ∗ b i j + . . . + \begin{bmatrix}a_{1j} \\... \\a_{ij} \\... \\a_{nj} \\\end{bmatrix}*b_{ij}+...+ [ a 11 . . . a i 1 . . . a n 1 ] ∗ b m j = \begin{bmatrix}a_{11} \\... \\a_{i1} \\... \\a_{n1} \\\end{bmatrix}*b_{mj}= [ c 1 j . . . c i j . . . c n j ] \begin{bmatrix}c_{1j} \\... \\c_{ij} \\... \\c_{nj} \\\end{bmatrix}

行相乘

[ a 11 . . . a 1 j . . . a 1 m . . . . . . . . . . . . . . . a i 1 . . . a i j . . . a i m . . . . . . . . . . . . . . . a n 1 . . . a n j . . . a n m ] \begin{bmatrix}a_{11} & ... & a_{1j} & ...& a_{1m} \\... & ... & ... & ...& ... \\a_{i1} &... & a_{ij} & ...& a_{im} \\... & ... &... & ...& ... \\a_{n1} & ... & a_{nj} & ...& a_{nm} \\\end{bmatrix} [ b 11 . . . b 1 j . . . b 1 h . . . . . . . . . . . . . . . b i 1 . . . b i j . . . b i h . . . . . . . . . . . . . . . b m 1 . . . b m j . . . b m h ] = \begin{bmatrix}b_{11} & ... & b_{1j} & ...& b_{1h} \\... & ... & ... & ...& ... \\b_{i1} &... & b_{ij} & ...& b_{ih} \\... & ... &... & ...& ... \\b_{m1} & ... & b_{mj} & ...& b_{mh} \\\end{bmatrix}= [ c 11 . . . c 1 j . . . c 1 h . . . . . . . . . . . . . . . c i 1 . . . c i j . . . c i h . . . . . . . . . . . . . . . c n 1 . . . c n j . . . c n h ] \begin{bmatrix}c_{11} & ... & c_{1j} & ...& c_{1h} \\... & ... & ... & ...& ... \\c_{i1} &... & c_{ij} & ...& c_{ih} \\... & ... &... & ...& ... \\c_{n1} & ... & c_{nj} & ...& c_{nh} \\\end{bmatrix}
同样的方法处理：
[ a 11 . . . a 1 j . . . a 1 m . . . . . . . . . . . . . . . a i 1 . . . a i j . . . a i m . . . . . . . . . . . . . . . a n 1 . . . a n j . . . a n m ] \left[ \begin{array} {c c c c c} a_{11} & ... & a_{1j} & ...& a_{1m} \\ \hline... & ... & ... & ...& ... \\ \hline a_{i1} &... & a_{ij} & ...& a_{im} \\\hline ... & ... &... & ...& ... \\\hline a_{n1} & ... & a_{nj} & ...& a_{nm} \\ \end{array} \right] [ b 11 . . . b 1 j . . . b 1 h . . . . . . . . . . . . . . . b i 1 . . . b i j . . . b i h . . . . . . . . . . . . . . . b m 1 . . . b m j . . . b m h ] = \begin{bmatrix}b_{11} & ... & b_{1j} & ...& b_{1h} \\... & ... & ... & ...& ... \\b_{i1} &... & b_{ij} & ...& b_{ih} \\... & ... &... & ...& ... \\b_{m1} & ... & b_{mj} & ...& b_{mh} \\\end{bmatrix}=
[ c 11 . . . c 1 j . . . c 1 h . . . . . . . . . . . . . . . c i 1 . . . c i j . . . c i h . . . . . . . . . . . . . . . c n 1 . . . c n j . . . c n h ] \left[ \begin{array} {c c c c c} c_{11} & ... & c_{1j} & ...& c_{1h} \\\hline ... & ... & ... & ...& ... \\\hline c_{i1} &... & c_{ij} & ...& c_{ih} \\\hline ... & ... &... & ...& ... \\\hline c_{n1} & ... & c_{nj} & ...& c_{ nh} \\ \end{array} \right]
细分到每一行就是B中行之间的线性组合：
[ a i 1 . . . a i j . . . a i m ] \begin{bmatrix}a_{i1} &... &a_{ij} &... &a_{im} \\\end{bmatrix} [ b 11 . . . b 1 j . . . b 1 h . . . . . . . . . . . . . . . b i 1 . . . b i j . . . b i h . . . . . . . . . . . . . . . b m 1 . . . b m j . . . b m h ] = \begin{bmatrix}b_{11} & ... & b_{1j} & ...& b_{1h} \\... & ... & ... & ...& ... \\b_{i1} &... & b_{ij} & ...& b_{ih} \\... & ... &... & ...& ... \\b_{m1} & ... & b_{mj} & ...& b_{mh} \\\end{bmatrix}= [ c i 1 . . . c i j . . . c i m ] \begin{bmatrix}c_{i1} &... &c_{ij} &... &c_{im} \\\end{bmatrix}
展开后有：
a i 1 ∗ [ b 11 . . . b 1 j . . . b 1 h ] + . . . + a_{i1}*\begin{bmatrix}b_{11} &... &b_{1j} &... &b_{1h} \\\end{bmatrix}+...+ a i j ∗ [ b i 1 . . . b i j . . . b i h ] + . . . + a_{ij}*\begin{bmatrix}b_{i1} &... &b_{ij} &... &b_{ih} \\\end{bmatrix}+...+ a i m ∗ [ b m 1 . . . b m j . . . b m h ] = a_{im}*\begin{bmatrix}b_{m1} &... &b_{mj} &... &b_{mh} \\\end{bmatrix}= [ c i 1 . . . c i j . . . c i m ] \begin{bmatrix}c_{i1} &... &c_{ij} &... &c_{im} \\\end{bmatrix}

列行相乘

这种方式并不那么直观，但在之前的基础上应该可以很好理解：
[ a 11 . . . a 1 j . . . a 1 m . . . . . . . . . . . . . . . a i 1 . . . a i j . . . a i m . . . . . . . . . . . . . . . a n 1 . . . a n j . . . a n m ] \left[ \begin{array} {c| c | c | c | c} a_{11} & ... & a_{1j} & ...& a_{1m} \\... & ... & ... & ...& ... \\a_{i1} &... &a_{ij} & ...& a_{im} \\... & ... &... & ...& ... \\a_{n1} & ... & a_{nj} & ...& a_{ nm} \\ \end{array} \right] [ b 11 . . . b 1 j . . . b 1 h . . . . . . . . . . . . . . . b i 1 . . . b i j . . . b i h . . . . . . . . . . . . . . . b m 1 . . . b m j . . . b m h ] = \left[ \begin{array} {c c c c c} b_{11} & ... & b_{1j} & ...& b_{1h} \\\hline ... & ... & ... & ...& ... \\\hline b_{i1} &... & b_{ij} & ...& b_{ih} \\\hline ... & ... &... & ...& ... \\\hline b_{m1} & ... & b_{mj} & ...& b_{ mh} \\ \end{array} \right]= [ c 11 . . . c 1 j . . . c 1 h . . . . . . . . . . . . . . . c i 1 . . . c i j . . . c i h . . . . . . . . . . . . . . . c n 1 . . . c n j . . . c n h ] \begin{bmatrix}c_{11} & ... & c_{1j} & ...& c_{1h} \\... & ... & ... & ...& ... \\c_{i1} &... & c_{ij} & ...& c_{ih} \\... & ... &... & ...& ... \\c_{n1} & ... & c_{nj} & ...& c_{nh} \\\end{bmatrix}

将列与行单独的拆开后有：
[ a 1 j . . . a i j . . . a n j ] \begin{bmatrix}a_{1j} \\... \\a_{ij} \\... \\a_{nj} \\\end{bmatrix} [ b i 1 . . . b i j . . . b i h ] = \begin{bmatrix}b_{i1} &... &b_{ij} &... &b_{ih} \\\end{bmatrix}= [ c ^ 11 . . . c ^ 1 j . . . c ^ 1 h . . . . . . . . . . . . . . . c ^ i 1 . . . c ^ i j . . . c ^ i h . . . . . . . . . . . . . . . c ^ n 1 . . . c ^ n j . . . c ^ n h ] \begin{bmatrix} \hat c_{11} & ... & \hat c_{1j} & ...& \hat c_{1h} \\... & ... & ... & ...& ... \\\hat c_{i1} &... & \hat c_{ij} & ...& \hat c_{ih} \\... & ... &... & ...& ... \\\hat c_{n1} & ... & \hat c_{nj} & ...& \hat c_{nh} \\\end{bmatrix}

这里有一个性质是对于得到的矩阵 [ c ^ 11 . . . c ^ 1 j . . . c ^ 1 h . . . . . . . . . . . . . . . c ^ i 1 . . . c ^ i j . . . c ^ i h . . . . . . . . . . . . . . . c ^ n 1 . . . c ^ n j . . . c ^ n h ] \begin{bmatrix} \hat c_{11} & ... & \hat c_{1j} & ...& \hat c_{1h} \\... & ... & ... & ...& ... \\\hat c_{i1} &... & \hat c_{ij} & ...& \hat c_{ih} \\... & ... &... & ...& ... \\\hat c_{n1} & ... & \hat c_{nj} & ...& \hat c_{nh} \\\end{bmatrix} 其所有的行向量都相互平行，所有的列向量也都相互平行。
合并之后有：
∑ l = 1 m \sum_{l=1}^m [ a 1 l . . . a i l . . . a n l ] \begin{bmatrix}a_{1l} \\... \\a_{il} \\... \\a_{nl} \\\end{bmatrix} [ b l 1 . . . b l j . . . b l h ] = \begin{bmatrix}b_{l1} &... &b_{lj} &... &b_{lh} \\\end{bmatrix}= [ c 11 . . . c 1 j . . . c 1 h . . . . . . . . . . . . . . . c i 1 . . . c i j . . . c i h . . . . . . . . . . . . . . . c n 1 . . . c n j . . . c n h ] \begin{bmatrix}c_{11} & ... & c_{1j} & ...& c_{1h} \\... & ... & ... & ...& ... \\c_{i1} &... & c_{ij} & ...& c_{ih} \\... & ... &... & ...& ... \\c_{n1} & ... & c_{nj} & ...& c_{nh} \\\end{bmatrix}

c i j = ∑ l = 1 m a i l ∗ b l j c_{ij}=\sum_{l=1}^ma_{il}*b_{lj} 与行列相乘相符。

[ a 11 . . . a 1 j . . . a 1 h . . . . . . . . . . . . . . . a i 1 . . . a i j . . . a i h . . . . . . . . . . . . . . . a n 1 . . . a n j . . . a n h ] + \begin{bmatrix}a_{11} & ... & a_{1j} & ...& a_{1h} \\... & ... & ... & ...& ... \\a_{i1} &... & a_{ij} & ...& a_{ih} \\... & ... &... & ...& ... \\a_{n1} & ... & a_{nj} & ...& a_{nh} \\\end{bmatrix}+ [ b 11 . . . b 1 j . . . b 1 h . . . . . . . . . . . . . . . b i 1 . . . b i j . . . b i h . . . . . . . . . . . . . . . b n 1 . . . b n j . . . b n h ] = \begin{bmatrix}b_{11} & ... & b_{1j} & ...& b_{1h} \\... & ... & ... & ...& ... \\b_{i1} &... & b_{ij} & ...& b_{ih} \\... & ... &... & ...& ... \\b_{n1} & ... & b_{nj} & ...& b_{nh} \\\end{bmatrix}= [ a 11 + b 11 . . . a 1 j + b 1 j . . . a 1 h + b 1 h . . . . . . . . . . . . . . . a i 1 + b i 1 . . . a i j + b i j . . . a i h + b i h . . . . . . . . . . . . . . . a n 1 + b n 1 . . . a n j + b n j . . . a n n + b n h ] \begin{bmatrix}a_{11}+b_{11} & ... & a_{1j}+b_{1j} & ...& a_{1h}+b_{1h} \\... & ... & ... & ...& ... \\a_{i1}+b_{i1} &... & a_{ij}+b_{ij} & ...& a_{ih}+b_{ih} \\... & ... &... & ...& ... \\a_{n1}+b_{n1} & ... & a_{nj}+b_{nj} & ...& a_{nn}+b_{nh} \\\end{bmatrix} （矩阵相加）

分块运算

对于一些大的矩阵也可以进行矩阵的划分，化成几块来进行运算，但是划分之后的矩阵块也要符合乘法运算的条件（即块状的矩阵左边的列数等于右边的行数）。
[ A 11 A 12 A 21 A 22 ] [ B 11 B 12 B 21 B 22 ] = [ A 11 B 11 + A 12 B 21 A 11 B 12 + A 12 B 22 A 21 B 11 + A 22 B 21 A 21 B 12 + A 22 B 22 ] \left[ \begin{array} {c | c} A_{11} & A_{12} \\\hline A_{21} & A_{22} \\ \end{array} \right]\left[ \begin{array} {c | c} B_{11} & B_{12} \\\hline B_{21} & B_{22} \\ \end{array} \right]=\left[ \begin{array} {c | c} A_{11} B_{11}+A_{12} B_{21} & A_{11} B_{12}+A_{12} B_{22} \\\hline A_{21} B_{11}+A_{22} B_{21} & A_{21} B_{12}+A_{22} B_{22} \\ \end{array} \right]

逆

A − 1 A = E = A A − 1 A^{-1}A=E=AA^{-1}
（首先是方阵）可逆矩阵（非奇异矩阵）的左逆等于右逆，乘积为单位矩阵

奇异矩阵

首先看一下这个例子 [ 1 3 2 6 ] \begin{bmatrix}1&3\\2&6\\\end{bmatrix} 它是否含有逆矩阵？
我们把逆矩阵看作对原矩阵的线性组合处理，那么显然我们找不到一种矩阵变化来将 [ 1 3 2 6 ] \begin{bmatrix}1&3\\2&6\\\end{bmatrix} 变为单位矩阵（两行之间平行，两列之间也平行，无法转化为E的形式），所以有存在任意两行或两列平行的矩阵为奇异矩阵。
或者我们可以换一种定义：如果一个方阵没有逆，我们可以通过寻找一个非零向量X使得 A X = 0 AX=0 成立来描述。（线性相关性）比如上面的矩阵 [ 1 3 2 6 ] \begin{bmatrix}1&3\\2&6\\\end{bmatrix} 对应的X是 [ 3 − 1 ] \begin{bmatrix}3\\-1\end{bmatrix} 。
简单的证明一下：
假设 A A 存在逆矩阵，那么有 A − 1 A X = 0 A^{-1}AX=0 ，即 X = 0 X=0 ，与题目所给的条件矛盾。

求解非奇异矩阵（Gauss-Jordan）

现在我们有 [ 1 3 2 7 ] \begin{bmatrix}1&3\\2&7\\\end{bmatrix} [ a c b d ] = \begin{bmatrix}a&c\\b&d\\\end{bmatrix}= [ 1 0 0 1 ] \begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix} 这个方程，我们的目的就是求出对应的a,b,c,d，由上面的乘法思想我们使用列向量来处理：

[ 1 3 2 7 ] \begin{bmatrix}1&3\\2&7\\\end{bmatrix} [ a b ] = \begin{bmatrix}a\\b\\\end{bmatrix}= [ 1 0 ] \begin{bmatrix}1\\0\\\end{bmatrix} 和 [ 1 3 2 7 ] \begin{bmatrix}1&3\\2&7\\\end{bmatrix} [ c d ] = \begin{bmatrix}c\\d\\\end{bmatrix}= [ 0 1 ] \begin{bmatrix}0\\1\\\end{bmatrix} 于是问题又变成了解方程组的形式了。（Gauss-Jordan）只不过是同时解多个方程组。

先看看这样的增广矩阵 [ 1 3 1 0 2 7 0 1 ] \left[\begin{array} {c c | c c} 1&3&1&0\\2&7&0&1\\\end{array} \right] 是一种 [ A E ] \begin{bmatrix}A&E\\\end{bmatrix} 的形式，我们的目的是将其化成这样的 [ E A − 1 ] \begin{bmatrix}E&A^{-1}\\\end{bmatrix} 形式，而实际我们的变换的过程就相当于 [ A − 1 ] [A^{-1}] [ A E ] \begin{bmatrix}A&E\\\end{bmatrix}
实际变化一下有：

[ 1 0 − 2 1 ] \begin{bmatrix}1&0\\-2&1\\\end{bmatrix} [ 1 3 1 0 2 7 0 1 ] = \left[\begin{array} {c c | c c} 1&3&1&0\\2&7&0&1\\\end{array} \right]= [ 1 3 1 0 0 1 − 2 1 ] \left[\begin{array} {c c | c c} 1&3&1&0\\0&1&-2&1\\\end{array} \right]

[ 1 − 3 0 1 ] \begin{bmatrix}1&-3\\0&1\\\end{bmatrix} [ 1 0 − 2 1 ] \begin{bmatrix}1&0\\-2&1\\\end{bmatrix} [ 1 3 1 0 2 7 0 1 ] = \left[\begin{array} {c c | c c} 1&3&1&0\\2&7&0&1\\\end{array} \right]= [ 1 0 7 − 3 0 1 − 2 1 ] \left[\begin{array} {c c | c c} 1&0&7&-3\\0&1&-2&1\\\end{array} \right]

即： [ 7 − 3 − 2 1 ] \begin{bmatrix}7&-3\\-2&1\\\end{bmatrix} [ 1 3 1 0 2 7 0 1 ] = \left[\begin{array} {c c | c c} 1&3&1&0\\2&7&0&1\\\end{array} \right]= [ 1 0 7 − 3 0 1 − 2 1 ] \left[\begin{array} {c c | c c} 1&0&7&-3\\0&1&-2&1\\\end{array} \right] （ [ A − 1 ] （[A^{-1}] [ A E ] = [ E A − 1 ] ） \begin{bmatrix}A&E\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}E&A^{-1}\\\end{bmatrix}）

yzsorz
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