计算机中的数学---行列式

全排列和对换

定义，不需证明，是人为的一种设定。定理，性质，推论全部是可以证明的，推论的证明一般基于某定理或性质

排列及其逆序数

1.把n个不同元素排成一列，叫这n个元素的全排列
2.对于n个不同元素，先规定各元素之间有一个标准次序，于是在n个元素的任一排列中，当某对元素先后次序和标准次序不同时，说构成一个逆序。一个排列中所有逆序总数叫这个排列的逆序数。
3.逆序数为奇数的排列叫奇排列，为偶数的排列叫偶排列。

对换

1.定理一个排列中任意两个元素对话，排列改变奇偶性【基于相邻对换证明】
2.定理奇排列对换成标准排列的对话次数为奇数，偶排列对换成标准排列的对换次数为偶数。【任意排列对换为标准排列】

n阶行列式的定义

1.定义 设有n^2个数，排成n行n列的数表

/*
a11	a12	...	a1n
a21	a22	...	a2n
	......
an1	an2	...	ann
*/

$\sum (-1)^ta_{1p1}a_{2p2}...a_{npn}$称为n阶行列式
p1,p2,…,pn为自然数是1,2…n的一个排列，t为这个排列的逆序数。

行列式代表的是一个数值，数表是行列式的一种表示形式。

2.性质 主对角先以下(上)元素都为0的行列式，叫上(下)三角行列式。这种行列式的值为主对角线元素 乘积。
3.性质 行列式和它的转置行列式相等
4.性质对换行列式的两行(列)，行列式变号
5.性质如果行列式有两行(列)完全相同，则此行列式等于0
6.性质行列式的某一行(列)中所有元素乘同一数k，等于用数k乘此行列式
7.性质行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面。
8.性质行列式中如果有两行(列)元素成比例，则此行列式等于零
9.性质若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和，则行列式等于两个行列式之和【特定行(列)元素拆分，构造的两个行列式】
10.性质把行列式的某一行(列)的各元素乘同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式不变。

行列式按行(列)展开

1.定义n阶行列式中，把(i, j)元 $a_{ij}$所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做(i,j)元 $a_{ij}$的余子式，记做 $M_{ij}$，记
$A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}$叫做(i,j)元 $a_{ij}$的代数余子式
2.定理
设
$D =\begin{pmatrix} a_{11} & ... & a_{1k} & 0 & ... & 0\\ . & ... & . & . & ... & .\\ . & ... & . & . & ... & .\\ . & ... & . & . & ... & .\\ a_{k1} & ... & a_{kk} & 0 & ... & 0\\ c_{11} & ... & c_{1k} & b_{11} & ... & b_{1n}\\ . & ... & . & . & ... & .\\ .& ... & . & . & ... & .\\ .& ... & . & . & ... & .\\ c_{n1} & ... & c_{nk} & b_{n1} & ... & n_{nn} \end{pmatrix}$

$D1 =\begin{pmatrix} a_{11} & ... & a_{1k} \\ . & ... & . \\ . & ... & . \\ . & ... & . \\ a_{k1} & ... & a_{kk}\\ \end{pmatrix}$

$D2 =\begin{pmatrix} b_{11} & ... & b_{1n} \\ . & ... & . \\ . & ... & . \\ . & ... & . \\ b_{n1} & ... & b_{nn}\\ \end{pmatrix}$
则D = D1D2

3.定理 一个n阶行列式，如果第i行的所有元素除(i,j)元 $a_{ij}$外都为0，那么这行列式等于 $a_{ij}$与它的代数余子式的乘积
D = $a_{ij}A_{ij}$
该定理对列同样适合。
4.定理 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。即：
$D = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + ... + a_{in}A_{in}$
或
$D = a_{1j}A_{1j} + a_{2j}A_{2j} + ... + a_{nj}A_{nj}$
5.定理 行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对于元素的代数余子式乘积之和等于0，即：
$a_{i1}A_{j1}+a_{i2}A_{j2}+...+a_{in}A_{jn} = 0, i!=j$
或
$a_{1i}A_{1j} +a_{2i}A_{2j} + ... + a_{ni}A_{nj} = 0, i!=j$

5.范德蒙德行列式
$D_{n}=\begin{pmatrix} 1 & 1 & ... & 1 \\ x_{1} & x_{2} & ... & x_{n} \\ x_{1}^2 & x_{2}^2 &... & x_{n}^2 \\ . & . & ... & . \\ . & . & ... & . \\ . & . & ... & . \\ x_{1}^{n-1} & x_{2}^{n-1} & ... & x_{n}^{n-1}\\ \end{pmatrix}$
$D_{n} = \prod_{n>=i>j>=1}(x_{i} - x_{j})$