计算机中的数学---矩阵及其运算

线性方程组和矩阵

线性方程组

$\begin{alignedat}{4} a_{11}&x_{1}+ &a_{12}&x_{2} + ... + &a_{1n}x_{n} = &b_{1} \\ a_{21}&x_{1}+&a_{22}&x_{2} + ... + &a_{2n}x_{n} = &b_{2} \\ ... \\ a_{m1}&x_{1}+&a_{m2}&x_{2}+...+&a_{mn}x_{n}=&b_{m} \end{alignedat}$
常数项 $b_{1},b_{2},...,b_{m}$不全为0时，称为 n元非齐次线性方程组，
全为0时，称为 n元齐次线性方程组。

对线性方程组需讨论，
1.是否有解？
2.有解时，解是否唯一？
3.多个解时，如何求其所有解？

矩阵的定义

由m*n个数 $a_{ij}$排成的m行n列的数表
$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} &... &a_{1n} \\ a_{21} &a_{22} &... &a_{2n} \\ . &. &... &.\\ . &. &... &.\\ . &. &... &.\\ a_{m1} & a_{m2} &... &a_{mn} \end{pmatrix}$
称为 $m*n$矩阵。行数列数均为n的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵。
只有一行矩阵，又称为行矩阵，行向量
只有一列矩阵，又称为列矩阵，列向量

两个矩阵行数相等，列数相等，称为同型矩阵。
同型矩阵且对应元素相等，则称矩阵A等于矩阵B，记作 $A=B$
对左上角到右下角以外元素都是0的n阶方阵，称为对角阵，记作 $\varLambda = diag(x_{1}, x_{2}, ... , x_{n})$
当 $x_{1}, x_{2}, ... , x_{n}$均为1时，叫n阶单位矩阵，称为 $E$

矩阵是用来研究线性变换的工具

矩阵的运算

1.定义 设有两个 $m*n$矩阵A，B，则矩阵A，B的和记作A+B。
规定为：
$A +B= \begin{pmatrix} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} &... &a_{1n}+b_{1n} \\ a_{21}+b_{21} &a_{22}+b_{22} &... &a_{2n}+b_{2n} \\ . &. &... &.\\ . &. &... &.\\ . &. &... &.\\ a_{m1}+b_{m1} & a_{m2}+b_{m2} &... &a_{mn}+b_{mn} \end{pmatrix}$

推论：
$A+B=B+A$
$(A+B)+C=A+(B+C)$

设矩阵 $A=(a_{ij})$，记 $-A=(-a_{ij})$
$-A$称为矩阵 $A$的负矩阵，有 $A+(-A)=O$
规定矩阵减法为 $A-B=A+(-B)$

数与矩阵相乘

1.定义 数 $k$与矩阵A的乘积记作 $kA$或 $Ak$，规定为
$A= \begin{pmatrix} ka_{11} & ka_{12} &... &ka_{1n} \\ ka_{21} &ka_{22} &... &ka_{2n} \\ . &. &... &.\\ . &. &... &.\\ . &. &... &.\\ ka_{m1} & ka_{m2} &... &ka_{mn} \end{pmatrix}$

推论：
$(k_{1}k_{2})A = k_{1}(k_{2}A)$
$(k_{1}+k_{2})A=k_{1}A+k_{2}A$
$k_{1}(A+B)=k_{1}A+k_{1}B$

矩阵与矩阵相乘

1.定义 设 $A=(a_{ij})$是一个 $m*s$矩阵， $B=(b_{ij})$是一个 $s*n$矩阵，则规定矩阵 $A$与矩阵 $B$的乘积是一个 $m*n$矩阵 $C=(c_{ij})$，其中
$c_{ij}=\displaystyle\sum_{k=1}^s a_{ik}b_{kj}$

推论：
$(AB)C=A(BC)$
$k_{1}(AB)=(k_{1}A)B=A(k_{1}B)$
$A(B+C)=AB+AC$
$(B+C)A=BA+CA$
对单位矩阵 $E$，易验证
$E_{m}A_{m*n}=A_{m*n}$
$A_{m*n}E_{n}=A_{m*n}$
记 $A^k=A...A$， $k$个 $A$相乘

矩阵的转置

1.定义 把矩阵 $A$的行换成同序数的列得到一个新矩阵，叫做A的转置矩阵，记作 $A^T$

推论：【假设以下运算皆可行】
$(A^T)^T=A$
$(A+B)^T=A^T+B^T$
$(k_{1}A)^T=k_{1}A^T$
$(AB)^T=B^TA^T$

方阵的行列式

1.定义 由n阶方阵 $A$的元素所构成的行列式(各元素的位置不变)，称为方阵 $A$的行列式，记作 $|A|$
设 $A,B$为 $n$阶方阵， $k$为数，则有
$|A^T|=|A|$
$|kA|=k^n|A|$
$|AB|=|A||B|$ 没有实际去证明的性质

2.定义 行列式 $|A|$的各个元素的代数余子式 $A_{ij}$所构成的如下的矩阵 $A^*= \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} &... &A_{n1} \\ A_{12} &A_{22} &... &A_{n2} \\ . &. &... &.\\ . &. &... &.\\ . &. &... &.\\ A_{1n} & A_{2n} &... &A_{nn} \end{pmatrix}$
称为矩阵 $A$的伴随矩阵，且有 $AA^*=A^*A=|A|E$

逆矩阵

1.定义 对于n阶矩阵 $A$，如有一个n阶矩阵 $B$，使 $AB=BA=E$，则说矩阵 $A$是可逆的，并把矩阵 $B$称为 $A$的逆矩阵。

性质：
逆矩阵，若存在，则唯一。A的逆矩阵，记作 $A^{-1}$，有 $AA^{-1}=A^{-1}A=E$
若矩阵 $A$可逆，则 $|A|!=0$
若 $|A|!=0$，则矩阵A可逆，且 $A^{-1}={\cfrac{1}{|A|}}A^*$

推论：
$A$是可逆矩阵充分必要条件为 $|A|!=0$
$AB=E$或 $BA=E$，则 $B=A^{-1}$
若 $A$可逆，则 $A^{-1}$也可逆，且 $(A^{-1})^{-1}=A$
若 $A$可逆，数 $k!=0$,则 $kA$可逆，且 $(kA)^{-1}={\cfrac{1}{k}}A^{-1}$
若 $A，B$为同阶矩阵且均可逆，则 $AB$也可逆，且 $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$

2.定义 设 $\Phi(x)=a_{0}+a_{1}x+...+a_{m}x^{m}$为 $x$的 $m$次多项式， $A$为n阶矩阵，记 $\Phi(A)=a_{0}E+a_{1}A+...+a_{m}A^{m}$ $\Phi(A)$称为矩阵 $A$的 $m$次多项式。

克拉默法则

$\begin{alignedat}{4} a_{11}&x_{1}+ &a_{12}&x_{2} + ... + &a_{1n}x_{n} = &b_{1} \\ a_{21}&x_{1}+&a_{22}&x_{2} + ... + &a_{2n}x_{n} = &b_{2} \\ ... \\ a_{n1}&x_{1}+&a_{n2}&x_{2}+...+&a_{nn}x_{n}=&b_{n} \end{alignedat}$
若 $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} &... &a_{1n} \\ a_{21} &a_{22} &... &a_{2n} \\ . &. &... &.\\ . &. &... &.\\ . &. &... &.\\ a_{n1} & a_{n2} &... &a_{nn} \end{pmatrix},|A|!=0$，则方程组有唯一解
$x_{1}={\cfrac{|A_{1}|}{|A|}},x_{2}={\cfrac{|A_{2}|}{|A|}},...,x_{n}={\cfrac{|A_{n}|}{|A|}}$
其中 $A_{j}$是把系数矩阵 $A$中第 $j$列的元素用方程组右端常数项代替后得到的 $n$阶矩阵

矩阵分块法

性质：
1.设矩阵 $A$与 $B$的行数相同，列数相同，采用相同的分块法，有： $A= \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} &... &A_{1r} \\ A_{21} &A_{22} &... &A_{2r} \\ . &. &... &.\\ . &. &... &.\\ . &. &... &.\\ A_{s1} & A_{s2} &... &A_{sr} \end{pmatrix}$
$B= \begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} &... &B_{1r} \\ B_{21} &B_{22} &... &B_{2r} \\ . &. &... &.\\ . &. &... &.\\ . &. &... &.\\ B_{s1} & B_{s2} &... &B_{sr} \end{pmatrix}$
其中 $A_{ij}$与 $B_{ij}$行数相同，列数相同，那么
$A+B= \begin{pmatrix} A_{11}+B_{11} & A_{12}+B_{12} &... &A_{1r}+B_{1r} \\ A_{21}+B_{21} &A_{22}+B_{22} &... &A_{2r}+B_{2r} \\ . &. &... &.\\ . &. &... &.\\ . &. &... &.\\ A_{s1}+B_{s1} & A_{s2}+B_{s2} &... &A_{sr}+B_{sr} \end{pmatrix}$
2.设 $A= \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} &... &A_{1r} \\ A_{21} &A_{22} &... &A_{2r} \\ . &. &... &.\\ . &. &... &.\\ . &. &... &.\\ A_{s1} & A_{s2} &... &A_{sr} \end{pmatrix}$， $k$为数，则 $kA= \begin{pmatrix} kA_{11} & kA_{12} &... &kA_{1r} \\ kA_{21} &kA_{22} &... &kA_{2r} \\ . &. &... &.\\ . &. &... &.\\ . &. &... &.\\ kA_{s1} & kA_{s2} &... &kA_{sr} \end{pmatrix}$
3.设 $A$为 $m*l$矩阵， $B$为 $l*n$矩阵，分块成
$A= \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} &... &A_{1t} \\ A_{21} &A_{22} &... &A_{2t} \\ . &. &... &.\\ . &. &... &.\\ . &. &... &.\\ A_{s1} & A_{s2} &... &A_{st} \end{pmatrix}$
$B= \begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} &... &B_{1r} \\ B_{21} &B_{22} &... &B_{2r} \\ . &. &... &.\\ . &. &... &.\\ . &. &... &.\\ B_{t1} & B_{t2} &... &B_{tr} \end{pmatrix}$
其中 $A_{i1},A_{i2},...,A_{it}$的列数分别等于 $B_{1j},B_{2j},...,B_{tj}$的行数，则
$AB= \begin{pmatrix} C_{11} & C_{12} &... &C_{1r} \\ C_{21} &C_{22} &... &C_{2r} \\ . &. &... &.\\ . &. &... &.\\ . &. &... &.\\ C_{s1} & C_{s2} &... &C_{sr} \end{pmatrix}$
其中 $C_{ij}=\displaystyle\sum_{k=1}^tA_{ik}B_{kj},i=1,2,...,s;j=1,2,...,r$
4.设
$A= \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} &... &A_{1r} \\ A_{21} &A_{22} &... &A_{2r} \\ . &. &... &.\\ . &. &... &.\\ . &. &... &.\\ A_{s1} & A_{s2} &... &A_{sr} \end{pmatrix}$,则 $A^{T}= \begin{pmatrix} A_{11}^{T} & A_{21}^{T} &... &A_{s1}^{T} \\ A_{12}^T &A_{22}^{T} &... &A_{s2}^{T} \\ . &. &... &.\\ . &. &... &.\\ . &. &... &.\\ A_{1r}^T & A_{2r}^{T} &... &A_{sr}^{T} \end{pmatrix}$
5.设A为n阶方阵，若A的分块矩阵只在对角线有非0子块，其余子块都为0矩阵，且在对角线的子块都是方阵，即 $A= \begin{pmatrix} A_{1} & 0 &... &0 \\ 0 &A_{2} &... &0 \\ . &. &... &.\\ . &. &... &.\\ . &. &... &.\\ 0 & 0 &... &A_{s} \end{pmatrix}$,则称A为分块对角矩阵。
$|A|=|A_{1}||A_{2}|...|A_{s}|$
若 $|A_{i}|!=0$，有 $A^{-1}= \begin{pmatrix} A_{1}^{-1} & 0 &... &0 \\ 0 &A_{2}^{-1} &... &0 \\ . &. &... &.\\ . &. &... &.\\ . &. &... &.\\ 0 & 0 &... &A_{s}^{-1} \end{pmatrix}$