计算机图形学一：基础变换矩阵总结(缩放，旋转，位移)

摘要

变换矩阵 (Transformation Marices) 在图形学中的重要性不用多说，一切物体的缩放，旋转，位移，都可以通过变换矩阵作用得到。同时在投影 (projection) 变换的时候也有很多应用，本文将会介绍一些简要的变换矩阵。

1 2D线性变换

我们将如下图所示的简单矩阵乘法定义为对向量 $(x,y)^T$的线性变换。

1.1 缩放(scaling)

缩放变换是一种沿着坐标轴作用的变换，定义如下:

即除了 $(0,0)^T$保持不变之外，所有的点变为 $(s_xx,s_yy)^T$。
举两个简单例子:

1.2 剪切(shearing)

shear变换直观理解就是把物体一边固定，然后拉另外一边，定义如下:

分别对应了向"拉伸"x轴，和"拉伸"y轴
直观理解见如下两图:

1.3 旋转(rotation)

旋转可以说是又一个十分重要的变换矩阵了，如下图，我们希望用一个变换矩阵表示将向量 $\bold{a}$旋转到向量 $\bold{b}$的位置，

记为

我们可做如下推导得到该矩阵，记向量长度为 $r$，则不难得到

进一步我们可以将旋转之后的向量 $\bold{b}$的坐标x,y用如下表示

显然，将上一步 $x_a$和 $y_a$的坐标表示代入得到

此时不难得出该结果即为 $rotate(\phi) * (x_a,y_a)^T$的结果了，证明结束。（注意该式是逆时针(countercklockwise)旋转，且原点为旋转中心！）

举例逆时针旋转45°效果如下:

2 3D线性变换

其实知道2维推3维还是非常直观的，只有推3维旋转的时候有一点要注意一下。

2.1 3维缩放(scaling)，剪切(shearing),旋转(rotation)

缩放不用多说:

剪切也十分类似:

3维旋转有3个矩阵，分别对应绕x轴，y轴，z轴旋转，同时有很关键的一点要注意！！！！我们所采用的是右手系，因此旋转是有定向(orientation)正如在二维，是x轴向y轴旋转，对应到3维便是绕z轴旋转(x轴转向y轴)，不难推出绕x轴旋转(y转向z)，绕y轴旋转(z转向x), 如果想不明白，右手螺旋定则试一试就知道了！ x->y->z->x…
因此理解了上面这个我们线来看绕x和z旋转的变换矩阵

(绕z轴，故z不变，且x转向y)

(绕x轴，故x不变，且y转向z)
绕y轴会有一点不同，但只要记住需要z转向x，很快便能反应过来

其实到这里可以下一个结论，可以看到任意旋转都是正交矩阵!，因此他们的逆便是他们的转置，而一个旋转矩阵的逆所对应的几何解释便是，我反着转这么多，比如我逆时针转30°，转置便是顺时针30°

注：以上所有的旋转都是针对原点来说，那么如何对围绕任何一个轴(3维)旋转呢

2.2 3维绕任意轴旋转

我们只有绕x，y, z旋转的方法，怎么随便给一个轴让你绕着他旋转呢！很直观的，我们把该轴给先旋转到任意的x，y，z上不就ok了！然后就可以应用我们本来的旋转矩阵，最后再逆旋转回来就行了。
$R1RxR1^T * (x,y,z)^T$这里的Rx是知道的，问题只剩怎么求R1了，设我们想围绕旋转的轴为 $u$，R1便是将u旋转到x的矩阵。
具体来说这里我们需要以u为一轴，构造一个3维正交坐标系，然后将u-x对齐，那么其它两轴就肯定和y和z对齐了！
构造如下，任取一t方向不与u重合
w = t x u
v = u x w
此时u, w, v便是我们构造出的新坐标系(这里运用了一些叉乘的小知识，读者不理解可取自行去了解一下叉乘几何含义再来看此式)。

好了，现在得到了u,w,v 对应 x,y,z如何将我们的新坐标系与原始坐标系重合呢，哈哈，这其实再简单不过了，我们取R1 = (u,w,v), 该旋转矩阵的含义便是将 $x,y,z$旋转到u，w，v的旋转矩阵(不信可以直接R1 * x，R1y，R1z试试便一目了然)，还记得什么？我们上一节曾总结到，旋转矩阵是正交矩阵，旋转矩阵的转置便是它的逆，也是几何意义上的反作用，因此！ $R^T$便是将u,w,v旋转到x,y,z的矩阵了。现在我们知道了R1知道了RX，那么围绕位移轴的旋转也就得到了！

中间那个矩阵换成 $rotate-x(\phi)$就好啦，书上的图懒得改了！

Tips:如果读者对线性代数不熟悉，或是没有很直观的几何理解的话，强烈推荐3blue1brown的线代本质.真的是带你走进全新版本，哈哈哈。

3 仿射变换

其实读到这大部分矩阵变换都已经说完了，只剩最后一个位移，同时也会引入齐次坐标为了更好将位移与rotation，scaling结合再一起，这样能够有旋转scale，又有translation的变换，称之为仿射变换。

3.1 位移(translation)

其实位移是在简单不过的了

我们之前所提到的线性变换如下：

你可以试试如果2维变换只用2维矩阵，3维变换只用3维矩阵，你是不可能将二者合在一起用一个矩阵表示的，所以很自然的，我们引入一维新的坐标，称之为齐次坐标，(x,y)->(x,y,1)

现在我们就可以用一个矩阵即表示线性变换(先做)，又表示位移了(后做)！三维其实同理，可以自己写出来看看。

注：最后一维为1，表示点(point), 为0表示方向(direction).方向的位移没有意义，方向始终不会变。
当然，不是只能是1和0，在投影变换中，齐次坐标会有更多的作用。

Reference

[1] Fundamentals of Computer Graphics 4th