计算机图形学-----齐次坐标、空间变换矩阵和通用的建模方法

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齐次坐标系

齐次坐标系是为了区分空间点和向量的。三维空间中， $(x,y,z)$可以表示一个点 $p$的位置，但是也可以表示一个向量 $\bf{v}$。对于点的移动是有实际意义的，但是移动向量没有任何意义！点和向量在三维空间中的真正区别在于是否支持移动。

引入齐次坐标 $(x,y,z,w)^T$， $w=1$表示空间的点， $w=0$表示空间的向量。这样是为了后期矩阵变换的时候，统一运算规则，不用单独区分点或者向量。

空间变换矩阵

一般来说，在图形学中，使用矩阵的方式进行变换，可以把多个连续的操作压缩到一个中，减少计算量；同时利用矩阵的优化算法，可以提高计算效率。

位移矩阵：
$\bf{Offset}= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & \bf{T_x} \\ 0 & 1 & 0 & \bf{T_y}\\ 0 & 0 & 1 & \bf{T_z} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
$\bf{T_x}$、 $\bf{T_y}$和 $\bf{T_z}$分别表示沿着 $x$、 $y$和 $z$轴的平移距离。根据矩阵的运算法则，如果是点的坐标，那么 $w=1$正好线性累加上位移；如果是向量， $w=0$会抵消位移的效果。

绕 $x$轴的旋转矩阵：
$\bf{RotationX}= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos{\theta} & -\sin{\theta} & 0\\ 0 & \sin{\theta} & \cos{\theta} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
这是右手系的变换矩阵， $\theta$是从 $x$轴负向看向正向顺时针的旋转角度。

绕 $y$轴的旋转矩阵：
$\bf{RotationY}= \begin{bmatrix} \cos{\theta} & 0 & \sin{\theta} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0\\ -\sin{\theta} & 0 & \cos{\theta} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
这是右手系的变换矩阵， $\theta$是从 $y$轴负向看向正向顺时针的旋转角度。

绕 $z$轴的旋转矩阵：
$\bf{RotationY}= \begin{bmatrix} \cos{\theta} & -\sin{\theta} & 0 & 0 \\ \sin{\theta} & \cos{\theta} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
这是右手系的变换矩阵， $\theta$是从 $z$轴负向看向正向顺时针的旋转角度。

绕任意轴的旋转矩阵：
假设一个轴的向量 $\bf{R}=(\bf{R_x}, \bf{R_y},R_z)$，现在绕这个轴进行旋转，那么变换矩阵应该是：
$\bf{RotationY}= \begin{bmatrix} \cos{\theta}+R_{x}^2(1-\cos{\theta}) & R_xR_y(1-\cos{\theta}-R_z\sin{\theta}) & R_xR_z(1-\cos{\theta}+R_y\sin{\theta}) & 0 \\ R_yR_x(1-\cos{\theta}+R_z\sin{\theta}) & \cos{\theta}+R_{y}^2(1-\cos{\theta}) & R_yR_z(1-\cos{\theta}-R_x\sin{\theta}) & 0 \\ R_zR_x(1-\cos{\theta}-R_z\sin{\theta}) & R_zR_y(1-\cos{\theta}+R_x\sin{\theta}) & \cos{\theta}+R_{z}^2(1-\cos{\theta}) & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

一般的建模方法

矩阵乘法是不可逆的，因此不能直接随便交换变换的顺序。先旋转再平移和先平移再旋转的效果是不同的；同样的，绕不同的轴旋转的次序不同，得到的结果可能也是不同的。一般来说，应该先执行局部的旋转，再执行局部坐标系的平移。

建模时，应该以物体为参考中心，选定一个物体的局部坐标中心 $\bf{localCenter}$，使用齐次坐标系表示，然后再给出物体各个定点在局部坐标系中的位置，局部坐标累计上局部旋转在累计上局部中心的坐标，即可生成全局的坐标。

注意，一定是先进行局部坐标系的旋转，再执行平移；否则结果错误。还有，这里使用的列向量的机制，矩阵乘法是从右向左结合的，那么变换矩阵是：
$\bf{worldPos}=\bf{Offset}*Rotation*localPos$

Github示例代码，纯C++实现的渲染管线：
https://github.com/StudentErick/PipeLine