计算机图形学变换

变换 Transformation

什么是变换

变换就是将一个点或向量从一个位置移动到另一个位置的过程。

变换的类型

以二维的形式给出。

缩放

变换公式
$x'=sx\\y'=ty$
对应的矩阵
$\begin{pmatrix} s & 0\\ 0 & t \end{pmatrix}$

反射

变换公式
$x'=-x\\ y'=y$
变换矩阵
$\begin{pmatrix}-1 & 0\\0 &1\end{pmatrix}$

切变（shear transformation）

变换公式
$x'=x+ay\\y'=y$
变换矩阵
$\begin{pmatrix}1 & a\\0 &1\end{pmatrix}$

旋转变换（Rotate）

旋转变换一般认为是认为绕过原点的旋转轴逆时针旋转，假设点 $(x, y)$ 绕 $Z$ 轴旋转 $\beta$ 得到了 $(x^{'}, y^{'})$ ，公式推导如下

对于 $(x, y)$ ，有
$x=rcos\alpha\\y=r\sin\alpha.$
旋转了 $\beta$ 后，得到
$x'=rcos(\alpha + \beta)\\y'=rsin(\alpha + \beta).$
展开后可得到
$x'=r(cos\alpha cos\beta - sin\alpha sin\beta)=xcos\beta - ysin\beta\\y'=r(sin\alpha cos\beta + cos\alpha sin\beta) = xsin\beta+ycos\beta.$
可以得到旋转矩阵为
$R_\beta=\begin{pmatrix} cos\beta & -sin\beta \\ sin\beta & cos\beta \end{pmatrix}$
已知上述矩阵为正交矩阵，因此有 $R_{-\beta}=R_{\beta}^T$

线性变换

上面提到的变换都可以统一为如下形式
$x'=ax+by\\y'=cx+dy\\$
从而写成矩阵的形式

$\begin{pmatrix} a & b\\ c & d\\ \end{pmatrix}$
但是，对于平移来说，其公式如下
$x'=x+t_x\\y'=y+t_y.$
无法统一到矩阵的表示当中，这就导致了齐次坐标的引入。

齐次坐标

在二维空间中，齐次坐标引入了一个与 $x, y$ 无关的一个维度来表示二维空间中的点和向量。

2D point = $x,y,1)^T$
2D vector = $x,y,0)^T$

为什么区别点和向量？向量具有平移不变性（方向不变），做任何平移后不变，即向量的坐标表示的是方向。但点平移之后坐标需要发生变化。因此规定， $x,y,w)^T=(x/w,y/w,1)^T$

由齐次坐标可以引出

$v + v = v$
$p - p = v$
$p + v = p (点沿向量的方向移动向量模的大小)$
$p_1 + p_2 =p,\ p是p_1,p_2的中点$

上述结果可以直接推广到三维空间中

3D point = $x,y,z,1)^T$
3D vector = $x,y,z,0)^T$

规定

$x,y,z,w)^T=(x/w,y/w,z/w,1)^T$
使用了齐次坐标后，上面的变换都可以统一到矩阵的表示上来。

缩放
$\begin{pmatrix} s_x & 0 & 0 & 0\\ 0 & s_y & 0 & 0 \\ 0 & 0 & s_z & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
旋转
- 绕 $Z$ 轴旋转
  $\begin{pmatrix} cos\alpha & -sin\alpha & 0 & 0 \\ sin\alpha & cos\alpha & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
- 绕 $X$ 轴旋转
  $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & cos\alpha & -sin\alpha & 0\\ 0 & sin\alpha & cos\alpha & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
- 绕 $Y$ 轴旋转
  $\begin{pmatrix} cos\alpha & 0 & sin\alpha & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ -sin\alpha & 0 & cos\alpha & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
平移
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & t_x\\ 0 & 1 & 0 & t_y\\ 0 & 0 & 1 & t_z\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Rodrigues‘ Rotation Formula

在这里插入图片描述

view/camera transformation视图变换

什么是view transformation

view rransformation：take a photo

成像过程（MVP）：model transfomation，view transformation（find a angle ），projection transformation

设照相机的三个参数，position $e$ , gaze at direction $g$ , up direction $t$ 。

视图变换的最终目的是将照相机变换到原点，向上为 $Y$ 轴，朝 $- Z$ 方向看。为了使变换后照相的结果不变，并且注意有若相机和物体做同样的移动，则“拍照”的结果不变。因此，视图变换将相机和物体做同样的变换。为后面的投影变换做准备。

变换过程

变换步骤：

将 $e$ 变换到原点
将 $g$ 旋转到 $- Z$ 轴
将 $t$ 旋转到 $Y$ 轴
将 $（g\times t）$ 旋转到x轴

变换公式
$M_{view}=R_{view}T_{view}\\ Origin_{view} = \begin{pmatrix} x_{g\times t} & x_{t} & x_{g} \\ y_{g\times t} & y_{t} & y_{g} \\ z_{g\times t} & z_{t} & z_{g} \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\\ Final_{view} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\\ Final_{view}=M_{view}Origin_{view}$
$T_{view}$ 的目的是首先将 $e$ 移动到原点，表示如下
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -x_{e} \\ 1 & 0 & 0 & -x_{e} \\ 1 & 0 & 0 & -x_{e} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
为了求 $R_{view}$ ，可以从求 $R_{view}^{-1}$ 入手，因为 $R_{view}^{-1}$ 容易看出，如下所示
$R_{view}^{-1}=\begin{pmatrix} x_{g\times t} & x_t & -x_g & 0\\ y_{g\times t} & y_t & -y_g & 0\\ z_{g\times t} & z_t & -z_g & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_{g\times t} & x_t & x_{ -g} & 0\\ y_{g\times t} & y_t & y_{-g} & 0\\ z_{g\times t} & z_t & z_{-g} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
显然 $R_{view}^{-1}$ 是正交矩阵，所以有 $R_{view}^T=R_{view}^{-1}$
$R_{view}=\begin{pmatrix} x_{g\times t} & y_{g\times t} & z_{g\times t} & 0\\ x_{t} & y_{t} & z_{t} & 0\\ x_{-g} & y_{-g} & z_{-g} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

projection transformation 投影变换

投影变换的目的是将3D物体变换到2D空间，按投影的结果可以分为正交投影和透视投影。

正交投影

摆好照相机的位置后，然后去掉各个点的 $Z$ 坐标即可得到各个物体的正交投影结果。一般做法如下

定义立方体的空间 $[l,r]\times[b,t]\times[f,n]$ ( $n$ 更靠近 $z$ 的正方向，所以有 $f < n$ )，然后试图将其映射到“canonical cube”，以原点为中心，范围是 $1,1]^3$ 的立方体。
变换步骤：先平移其中心到原点，然后缩放

所以变换矩阵为
$M_{view}=S_{view}T_{view}\\ S_{view}=\begin{pmatrix} \frac{2}{r-l} & 0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{2}{t-b} & 0 & 0\\ 0 & 0 & \frac{2}{n-f} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\\ T_{view} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -\frac{l+r}{2}\\ 0 & 1 & 0 & -\frac{b+t}{2}\\ 1 & 0 & 1 & -\frac{f+n}{2}\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

投影变换

相比于正交变换，投影变换在计算机图形学中更加常见，也比较符合人的视觉系统。

投影变换可以使得物体达到近大远小的效果，平行线不会再保持平行，会相交于某一点。

投影变换的一般步骤为如下。投影变换是以视锥体去观察物体，而正交变换以一个长方体去观察物体。因此，我们希望先将视锥体变换到一个长方体，然后在进行正交投影即可得到透视投影的结果。如下所示
$M_{pers}=M_{orth}M_{pers->orth}$

视锥体的点的 $X, Y$ 轴坐标变换到长方体空间的做法是通过三角形相似。公式如下
$y'=\frac{n}{z}y\\x'=\frac{n}{z}x\\z'\ is\ unknown$
所以可表示如下
$\begin{pmatrix} x\\y\\z\\1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} \frac{n}{z}x\\\frac{n}{z}y\\?\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} nx\\ny\\?z\\z \end{pmatrix}$
用矩阵表示为
$M_{pers->orth}=\begin{pmatrix} n & 0 & 0 & 0\\ 0 & n & 0 & 0\\ ? & ? & ? & ?\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$
由于近平面和远平面上的点的 $Z$ 轴坐标依然为 $n, f$ 所以，矩阵可以简化为
$M_{pers->orth}=\begin{pmatrix} n & 0 & 0 & 0\\ 0 & n & 0 & 0\\ 0 & 0 & A & B\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$
同时，有以下两个条件
$\begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ n\\ 1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ n^2\\ n \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ f\\ 1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ f^2\\ f \end{pmatrix}$
所以有
$An+B=n^2\\ Af+B=f^2.$
解得
$A = n + f, B = - n f$
所以有
$M_{pers->orth}=\begin{pmatrix} n & 0 & 0 & 0\\ 0 & n & 0 & 0\\ 0 & 0 & n+f & -nf\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$