【计算机图形学】【GAMES101学习笔记】Review of Linear Algebra 基础变换矩阵总结(缩放，旋转，位移)

变换矩阵概述

什么是变换矩阵？百度百科中的解释是：变换矩阵是数学线性代数中的一个概念，在线性代数中，线性变换能够用矩阵来表示；如果$T$是一个把$R_n$映射到$R_m$的线性变换，且$x$是一个具有$n$个元素的列向量，那么我们把$m\times n$的矩阵$A$称为$T$的变换矩阵。其中，$x$是$R_n$上的一个向量，经过和变换矩阵$A$相乘之后，就能映射到$R_m$空间中。
而在图形学中，变换矩阵举足轻重，一切物体的缩放、旋转、位移等操作都可以通过变换矩阵作用得到。下面介绍图形学中常用的几种变换矩阵，其中最为重要的是齐次坐标的应用。

2维线性变换

我们假设$\left[\begin{array}{cc}{a}_1& a_2\\ a_3& a_4\end{array}\right]$是一个变换矩阵，则2D线性变换可以表示为：
$$\left[\begin{array}{cc}{a}_1& a_2\\ a_3& a_4\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{a}_{1}x& a_{2}y\\ a_{3}x& a_{4}y\end{array}\right]$$

缩放（Scale）

缩放是指将物体沿着坐标轴进行压缩或者拉伸的操作，假设有一个坐标$(x,y)$，经过缩放之后变成$(x^{\prime },y^{\prime })$，其中$x^{\prime }=s_{x}x,y^{\prime }=s_{y}y$，$s_x$和$s_y$称为缩放比例系数，当$s_x=s_y$时称为等比例缩放，否则成为非等比例缩放。
为了使得$x^{\prime }=s_{x}x,y^{\prime }=s_{y}y$，我们可以将变换矩阵定义为：
$$scale(s_x,s_y)=\left[\begin{array}{cc}{s}_x& 0\\ 0& s_y\end{array}\right]$$
所以，原来的矩阵与它相乘后变成：
$$\left[\begin{array}{cc}{s}_x& 0\\ 0& s_y\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{s}_{x}x\\ s_{y}y\end{array}\right]$$
也就是说，除了原点不动外，其他点都变成了$(s_{x}x,s_{y}y{)}^T$，即沿着坐标轴比例进行了缩放。下面举两个例子：

切变（Shearing）

切变是指把一体的一边固定，然后拉另外一边，比如下图：

那么切变的变换矩阵是怎么样的呢？按照前面缩放的经验，我们只需找出点与点之间的数量关系即可。从图中可以看出，此变换在$y$轴上并没有做出任何改动，是$x$轴在向右拉伸。再仔细观察发现，低端$y=0$这条边也没有发生任何变换，而最上端的那条直线变化最大，我们假设此时$y=1$，并向右移动了距离$a$，则原本位于$(0,1)$的点变成了$(a,1)$，因此我们不妨将切变的变换矩阵定义为：
$$shear=\left[\begin{array}{cc}1& a\\ 0& 1\end{array}\right]$$
于是，原来的矩阵与它相乘后变成：
$$\left[\begin{array}{cc}1& a\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x+ay\\ y\end{array}\right]$$

旋转（Rotation）

旋转是指物体的转动，这里我们默认与绕原点转动，并将其变换矩阵定义为：
$$rotate(\theta )=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$$
怎么来的呢？按照前面的经验我们只需要找出点的变换关系即可，下面引用西电卢本伟同学的手写推导：

旋转前后的图像如下图：

齐次坐标

齐次坐标（Homogeneous coordinates）就是将一个原本是$n$维的向量用一个$n+1$维向量来表示，是指一个用于投影几何里的坐标系统，如同用于欧式几何里的笛卡尔坐标一般。
在齐次坐标下，对于点来说扩展为$(x,y,1{)}^T$，对于向量来说扩展为$(x,y,0{)}^T$，这样做是有道理的，比如向量相加减之后还是向量，点相加减之后还是点。
那么多余平移来说，就可以这样表示：
$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& t_x\\ 0& 1& t_y\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x+t_x\\ y+t_y\\ 1\end{array}\right]$$

仿射变换

仿射变换又称为仿射映射，是指在几何中，一个向量空间进行一次线性变换并接上一个平移，变换为另一个向量空间。仿射变换包括缩放、旋转、反射、错切以及平移，原来的直线仿射变换后还是直线，原来的平行线经过仿射变换之后还是平行线。一个集合的仿射变换为：
$$f(x)=Ax+b,x\in X$$特别地，在二维图像变换中，其一般表达式为：
$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{R}_0& R_1& t_x\\ R_2& R_3& t_y\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right]$$我们发现，在二维的变换矩阵中，最后一行是固定的$(0,0,1)$，而第一、第二行前两列是要进行的线性变换，最后一列是要平移的距离。
在仿射变换中，除了进行单一的平移、旋转等操作之外，我们还可以对变换进行组合与分解。
就组合而言，其变换的顺序从右往左看，例如我们定义一个变换矩阵：$$M=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& t_x\\ 0& 1& t_y\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\cos \theta & -\sin \theta & 0\\ \sin \theta & \cos \theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$其作用是，先将二维图像逆时针旋转$\theta$，然后平移$(t_x,t_y{)}^T$。
就分解而言，其实就是组合的逆过程，一种简单的做法是：先将左下点移动到原点之后再进行线性与平移操作。

3维变换

三维的变换跟二维的差不多，相当于增加了一个维度，下面给出反射变换在三维当中的一些常用变换矩阵（用齐次坐标表示）。

平移（Translation）

$$translation(t_x,t_y,t_z)=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& t_x\\ 0& 1& 0& t_y\\ 0& 0& 1& t_z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

缩放（Scale）

$$scale(s_x,s_y,s_z)=\left[\begin{array}{cccc}{s}_x& 0& 0& 0\\ 0& s_y& 0& 0\\ 0& 0& s_z& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

旋转（Rotation）

1. 绕$x$轴旋转：$$R_x(\alpha )=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& \cos \alpha & -\sin \alpha & 0\\ 0& \sin \alpha & \cos \alpha & 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$
2. 绕$y$轴旋转：$$R_y(\alpha )=\left[\begin{array}{cccc}\cos \alpha & 0& \sin \alpha & 0\\ 0& 1& 0& 0\\ -\sin \alpha & 0& \cos \alpha & 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$
3. 绕$z$轴旋转：$$R_z(\alpha )=\left[\begin{array}{cccc}\cos \alpha & -\sin \alpha & 0& 0\\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$
4. 绕任意轴旋转：我们把该轴给先旋转到任意的x，y，z轴上，然后就可以应用基本的旋转矩阵，最后再逆旋转回来即可。