计算机图形学----投影矩阵

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投影矩阵概述

在得到相机坐标后，就相当于得到了人眼观察世界中物体的坐标，但是我们需要把物体映射到一个二维平面上用于显示，投影矩阵就起到把三维坐标映射到二维坐标的作用，同时因为三维空间有深度的概念，因此把Z轴转化成深度。W作为一个系数，用于检测是否超出窗口范围。

投影变换最终的效果是把各个坐标映射到 $[-1,1]$之间，然后再乘以相应的屏幕高度和宽度，得到最终的屏幕坐标。 $[-1,1]$的坐标又成为NDC坐标

推导过程参照：http://www.songho.ca/opengl/gl_transform.html ，一般直接套公式使用即可。

透视投影

$\bf{M}_{projection}= \begin{bmatrix} \frac{2n}{r-l} & 0 & \frac{r+l}{r-l} & 0\\ 0 & \frac{2}{n} & \frac{t+b}{t-b} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{f+n}{f-n} & -\frac{2fn}{f-n} \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{bmatrix}$
n是近平面距离，f是远平面距离。l、r、t、b分别是左右上下
此时变换完成后，还不是NDC坐标，需要每个坐标乘以 $w$分量才行，下面的操作：
$\begin{bmatrix} x_{clip}\\y_{clip}\\z_{clip}\\w_{clip} \end{bmatrix}=\bf{M}_{projection}\begin{bmatrix} x_{eye}\\y_{eye}\\z_{eye}\\w_{eye} \end{bmatrix}$
其中，eye表示相机坐标，clip表示初步映射的坐标。

之后，再除以 $w$分量，得到NDC坐标：
$\begin{bmatrix} x_{ndc}\\y_{ndc}\\z_{ndc} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} x_{clip}/w_{clip}\\y_{clip}/w_{clip}\\z_{clip}/w_{clip} \end{bmatrix}$
如果NDC不在[-1,1]，表示超出屏幕范围，不能显示。

正交投影

正交投影的基本步骤是一致的，只是变换矩阵不同：
$\begin{bmatrix} \frac{2}{r-l} & 0 & 0 & -\frac{r+l}{r-l} \\ 0 & \frac{2}{t-b} & 0 & -\frac{t+b}{t-b} \\ 0 & 0 & -\frac{2}{f-n} & -\frac{f+n}{f-n} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$