例一·测量电压
设在一电路中,电阻两喘的电压(V)服从
N(120,22).今独立测量了
5次,试确定有
2次测定值落在区间
[118,122]之外的概率.
思路
设第
i次的测量值为
Xi,
i=1,2,3,4,5,则
Xi∼N(120,22),代入公式得
P{118⩽Xi⩽122}=Φ(2122−120)−Φ(2118−120)=Φ(1)−Φ(−1)=2Φ(1)−1=0,6826P{Xi∈/[118,122]}=1−P{118⩽X⩽122}=0.3174,i=1,2,3,4,5
因各个
Xi相互独立,故用
Y表示
5次测量其测量值
Xi落在区间
[118,122]之外的个数,则
Y∼b(5,0.3174)
代入公式得
P{Y=2}=(52)(0.3174)2(0.6826)3=0.3204
例二·等待指示灯的时间
某人上班,自家里去办公楼要经过一交通指示灯,这一指示灯有80%时间亮红灯,此时他在指示灯旁等待直至绿灯亮,等待时间在区间
[0,30](以秒计)服从均匀分布.以X表示他的等待时间.求X的分布函数F(x),并问X是否为连续型随机变量,是否为离散型的? (要说明理由)
思路
当他到达交通 指示灯处时,若是亮绿灯,则等待时间X为零,亮红灯则等待时间X服从均匀分布.记A为事件“指示灯亮绿灯”,对于固定的x≥0,由全概率公式有
P{X⩽x}=P{X⩽x∣A}P(A)+P{X⩽x∣Aˉ⟩P(Aˉ)
其中P{X⩽x∣A}=1,P{X⩽x∣Aˉ}=30x(当0⩽x⩽30),P(X⩽x∣Aˉ)=
1(当x>30),由P(A)=0.2得到
P{X⩽x}=1×0.2+30x×0.8=0.2+300.8x(当0⩽x⩽30)
P{X⩽x}=1×0,2+1×0.8=1(当x>30)
于是得到X的分布函数
F(x)=P{X⩽x}=⎩⎨⎧0,0.2+300.8x,1,x<00⩽x<30x⩾30
例三·求概率密度
设
X∼N(0,1),求
Y=eX的概率密度.
思路
因为
Y=eX大于0,故当
y<0时,
fY(y)=0;当
y>0时,注意到
X∼N(0,1),因而可以求出
Y的分布函数为
FY(y)=P{Y⩽y}=P{0<Y⩽y}=P{0<ex⩽y}−P{−∞<X⩽lny}=Φ(lny)
进而求得
fY(y)=dydFY(y)=dxdΦ(x)∣∣∣∣x=lny⋅y1=2π
1e−21(lny)2⋅y1
于是,
Y=eX的概率密度为
fY(y)={2π
y1e−21(lny)2⋅,0,y>0其他
例四·使用引理求概率密度
设随机变量
X的概率密度为
f(x)={e−x,0,x>0其他
求
Y=X2的概率密度.
思路
Y=X2,即有
y=g(x)=x2,在
x>0时,
g(x)单调递增,具有反函数
x=h(y)=y1/2,又有
h′(y)=21y−1/2由课本引理得
Y=X2的概率密度为
fY(y)={2y
1e−y
,0,y>0其他