常用离散型随机变量的内容在这里（CSDN对文章长度设了限制，我只能分成两篇博客来发布）。
常用连续型随机变量的概率分布速查表
| 随机变量 | 记号 | 概率密度函数 | 分布函数 | 期望 | 方差 |
|---|---|---|---|---|---|
| 均匀分布 | X ∼ U [ a , b ] X\sim U[a,b] X∼U[a,b] | p ( x ) = { 1 b − a , a < x < b 0 , o t h e r w i s e p(x)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{1}{b-a}, & a<x<b \\ 0, & otherwise \end{array}\right. p(x)={ b−a1,0,a<x<botherwise | F ( x ) = { 0 , x < a x − a b − a , a ⩽ x < b 1 , x ⩾ b F(x)=\left\{\begin{array}{cc} 0, & x<a \\ \frac{x-a}{b-a}, & a\leqslant x<b \\ 1, & x\geqslant b \end{array}\right. F(x)=⎩⎨⎧0,b−ax−a,1,x<aa⩽x<bx⩾b | a + b 2 \frac{a+b}{2} 2a+b | ( b − a ) 2 12 \frac{(b-a)^2}{12} 12(b−a)2 |
| 指数分布 | X ∼ E ( λ ) X\sim E(\lambda) X∼E(λ) | p ( x ) = { λ e − λ x , x ⩾ 0 0 , x < 0 p(x)=\left\{\begin{array}{cc} \lambda e^{-\lambda x}, & x\geqslant 0 \\ 0, & x<0 \end{array}\right. p(x)={ λe−λx,0,x⩾0x<0 | F ( x ) = { 1 − e − λ x , x ⩾ 0 0 , x < 0 F(x)=\left\{\begin{array}{cc} 1-e^{-\lambda x}, & x\geqslant 0 \\ 0, & x<0 \end{array}\right. F(x)={ 1−e−λx,0,x⩾0x<0 | λ − 1 \lambda^{-1} λ−1 | λ − 2 \lambda^{-2} λ−2 |
| 正态分布 | X ∼ N ( μ , σ 2 ) X\sim N(\mu,\sigma^2) X∼N(μ,σ2) | p ( x ) = 1 2 π σ e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} p(x)=2πσ1e−2σ2(x−μ)2 | F ( x ) = ∫ − ∞ x p ( t ) d t F(x)=\int^{x}_{-\infty}p(t)\text{d}t F(x)=∫−∞xp(t)dt | μ \mu μ | σ 2 \sigma^2 σ2 |
| 卡方分布 | X ∼ χ 2 ( n ) X\sim \chi^2(n) X∼χ2(n) | p ( x ) = { 1 2 n / 2 Γ ( n / 2 ) e − x 2 x n 2 − 1 , x > 0 0 , x ⩽ 0 p(x)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{1}{2^{n/2}\Gamma(n/2)}e^{-\frac{x}{2}}x^{\frac{n}{2}-1}, & x>0 \\ 0, & x\leqslant 0 \end{array}\right. p(x)={ 2n/2Γ(n/2)1e−2xx2n−1,0,x>0x⩽0 | F ( x ) = ∫ − ∞ x p ( t ) d t F(x)=\int^{x}_{-\infty}p(t)\text{d}t F(x)=∫−∞xp(t)dt | n n n | 2 n 2n 2n |
| t分布 | X ∼ t ( n ) X\sim t(n) X∼t(n) | p ( x ) = Γ ( n + 1 2 ) n π Γ ( n 2 ) ( 1 + x 2 n ) − n + 1 2 p(x)=\frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\sqrt{n\pi}\Gamma(\frac{n}{2})}(1+\frac{x^2}{n})^{-\frac{n+1}{2}} p(x)=nπΓ(2n)Γ(2n+1)(1+nx2)−2n+1 | F ( x ) = ∫ − ∞ x p ( t ) d t F(x)=\int^{x}_{-\infty}p(t)\text{d}t F(x)=∫−∞xp(t)dt | 0 0 0 | n n − 2 , \frac{n}{n-2},\space n−2n, ( n > 2 ) (n>2) (n>2) |
| F分布 | X ∼ F ( m , n ) X\sim F(m,n) X∼F(m,n) | p ( x ) = { Γ ( m + n 2 ) Γ ( m 2 ) Γ ( n 2 ) ( m n ) m 2 x m 2 − 1 ( 1 + m n x ) − m + n 2 , x > 0 0 , x ⩽ 0 p(x)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{\Gamma(\frac{m+n}{2})}{\Gamma(\frac{m}{2})\Gamma(\frac{n}{2})}(\frac{m}{n})^{\frac{m}{2}}x^{\frac{m}{2}-1}(1+\frac{m}{n}x)^{-\frac{m+n}{2}}, & x>0 \\ 0, & x\leqslant 0 \end{array}\right. p(x)={ Γ(2m)Γ(2n)Γ(2m+n)(nm)2mx2m−1(1+nmx)−2m+n,0,x>0x⩽0 | F ( x ) = ∫ − ∞ x p ( t ) d t F(x)=\int^{x}_{-\infty}p(t)\text{d}t F(x)=∫−∞xp(t)dt | n n − 2 , \frac{n}{n-2},\space n−2n, ( n > 2 ) (n>2) (n>2) | 2 n 2 ( m + n − 2 ) m ( n − 2 ) 2 ( n − 4 ) , \frac{2n^2(m+n-2)}{m(n-2)^2(n-4)},\space m(n−2)2(n−4)2n2(m+n−2), ( n > 4 ) (n>4) (n>4) |
常用连续型随机变量的期望与方差
均匀分布
概率密度函数
p ( x ) = { 1 b − a , a < x < b 0 , o t h e r w i s e 。 p(x) = \left\{\begin{array}{cc} \frac{1}{b-a}, & a<x<b \\ 0, & otherwise \end{array}\right. \thinspace。 p(x)={
b−a1,0,a<x<botherwise。
分布函数
F ( x ) = { 0 , x < a x − a b − a , a ⩽ x < b 1 , x ⩾ b 。 F(x) = \left\{\begin{array}{cc} 0, & x<a \\ \frac{x-a}{b-a}, & a\leqslant x<b \\ 1, & x\geqslant b \end{array}\right. \thinspace。 F(x)=⎩⎨⎧0,b−ax−a,1,x<aa⩽x<bx⩾b。
数学期望
E ( X ) = ∫ a b x b − a d x = x 2 2 ( b − a ) ∣ a b = a + b 2 。 E(X) = \int_a^b\frac{x}{b-a}\text{d}x = \frac{x^2}{2(b-a) }{\bigg|}_a^b = \frac{a+b}{2} \thinspace。 E(X)=∫abb−axdx=2(b−a)x2∣∣∣∣ab=2a+b。
方差
E ( X 2 ) = ∫ a b x 2 b − a d x = b 3 − a 3 3 ( b − a ) = a 2 + a b + b 2 3 ， E(X^2) = \int_a^b\frac{x^2}{b-a}\text{d}x = \frac{b^3-a^3}{3(b-a)} = \frac{a^2+ab+b^2}{3} \thinspace， E(X2)=∫abb−ax2dx=3(b−a)b3−a3=3a2+ab+b2， V a r ( X ) = E ( X 2 ) − ( E ( X ) ) 2 = a 2 + a b + b 2 3 − ( a + b 2 ) 2 = ( b − a ) 2 12 。 Var(X) = E(X^2)-(E(X))^2 = \frac{a^2+ab+b^2}{3}-(\frac{a+b}{2})^2 = \frac{(b-a)^2}{12} \thinspace。 Var(X)=E(X2)−(E(X))2=3a2+ab+b2−(2a+b)2=12(b−a)2。
指数分布
概率密度函数
p ( x ) = { λ e − λ x , x ⩾ 0 0 , x < 0 。 p(x) = \left\{\begin{array}{cc} \lambda e^{-\lambda x}, & x\geqslant 0 \\ 0, & x<0 \end{array}\right. \thinspace。 p(x)={
λe−λx,0,x⩾0x<0。
分布函数
F ( x ) = { 1 − e − λ x , x ⩾ 0 0 , x < 0 。 F(x) = \left\{\begin{array}{cc} 1-e^{-\lambda x}, & x\geqslant 0 \\ 0, & x<0 \end{array}\right. \thinspace。 F(x)={
1−e−λx,0,x⩾0x<0。
数学期望
E ( X ) = ∫ 0 + ∞ λ x e − λ x d x = − x e − λ x ∣ 0 + ∞ + ∫ 0 + ∞ e − λ x d x = − 1 λ e − λ x ∣ 0 + ∞ = 1 λ 。 E(X) = \int_0^{+\infty}\lambda xe^{-\lambda x}\text{d}x = -xe^{-\lambda x} {\Bigg|}_0^{+\infty} + \int_0^{+\infty}e^{-\lambda x}\text{d}x = \frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda x} {\Bigg|}_0^{+\infty} = \frac{1}{\lambda} \thinspace。 E(X)=∫0+∞λxe−λxdx=−xe−λx∣∣∣∣∣0+∞+∫0+∞e−λxdx=λ−1e−λx∣∣∣∣∣0+∞=λ1。
方差
E ( X 2 ) = ∫ 0 + ∞ x 2 λ e − λ x d x = − x 2 e − λ x ∣ 0 + ∞ + 2 ∫ 0 + ∞ x e − λ x d x = 2 λ E ( X ) = 2 λ 2 ， E(X^2) = \int_0^{+\infty}x^2\lambda e^{-\lambda x}\text{d}x = -x^2e^{-\lambda x} {\Bigg|}_0^{+\infty} + 2\int_0^{+\infty}xe^{-\lambda x}\text{d}x = \frac{2}{\lambda}E(X) = \frac{2}{\lambda^2} \thinspace， E(X2)=∫0+∞x2λe−λxdx=−x2e−λx∣∣∣∣∣0+∞+2∫0+∞xe−λxdx=λ2E(X)=λ22， V a r ( X ) = E ( X 2 ) − ( E ( X ) ) 2 = 2 λ 2 − 1 λ 2 = 1 λ 2 。 Var(X) = E(X^2)-(E(X))^2 = \frac{2}{\lambda^2}-\frac{1}{\lambda^2} = \frac{1}{\lambda^2} \thinspace。 Var(X)=E(X2)−(E(X))2=λ22−λ21=λ21。
正态分布
概率密度函数
p ( x ) = 1 2 π σ e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 。 p(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \thinspace。 p(x)=2πσ1e−2σ2(x−μ)2。
证明 ∫ − ∞ + ∞ p ( x ) d x = 1 \int_{-\infty}^{+\infty}p(x)\text{d}x=1 ∫−∞+∞p(x)dx=1：
令 I = ∫ − ∞ + ∞ p ( x ) d x = ∫ − ∞ + ∞ 1 2 π σ e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 d x = x = μ + σ t ∫ − ∞ + ∞ 1 2 π e − t 2 2 d t I = \int_{-\infty}^{+\infty}p(x)\text{d}x = \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\text{d}x \overset{x=\mu+\sigma t}{=} \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}}\text{d}t I=∫−∞+∞p(x)dx=∫−∞+∞2πσ1e−2σ2(x−μ)2dx=x=μ+σt∫−∞+∞2π1e−2t2dt，则
I 2 = 1 2 π ( ∫ − ∞ + ∞ e − x 2 2 d x ) ( ∫ − ∞ + ∞ e − y 2 2 d y ) = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ e − x 2 + y 2 2 d x d y = 1 2 π ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 + ∞ e − r 2 2 r d r = − e − r 2 2 ∣ 0 + ∞ = 1 。 \begin{aligned} I^2 &= \frac{1}{2\pi} (\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{x^2}{2}}\text{d}x) (\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{y^2}{2}} \text{d}y) \\ &= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{x^2+y^2}{2}} \text{d}x\text{d}y \\ &= \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi}\text{d}\theta \int_{0}^{+\infty}e^{-\frac{r^2}{2}}r\text{d}r \\ &= -e^{-\frac{r^2}{2}} {\Bigg|}_0^{+\infty} \\ &= 1 \thinspace。 \end{aligned} I2=2π1(∫−∞+∞e−2x2dx)(∫−∞+∞e−2y2dy)=2π1∫−∞+∞∫−∞+∞e−2x2+y2dxdy=2π1∫02πdθ∫0+∞e−2r2rdr=−e−2r2∣∣∣∣∣0+∞=1。又因为 p ( x ) > 0 p(x)>0 p(x)>0，所以 I > 0 I>0 I>0，从而 I = 1 I=1 I=1。
数学期望
引理：若随机变量 X X X服从标准正态分布 N ( 0 , 1 ) N(0,1) N(0,1)，则
E ( X n ) = { 0 , n 为 奇 数 2 n / 2 π Γ ( n + 1 2 ) , n 为 偶 数 。 E(X^n)=\left\{\begin{array}{cc} 0, & n为奇数 \\ \frac{2^{n/2}}{\sqrt{\pi}}\Gamma(\frac{n+1}{2}), & n为偶数 \end{array}\right. \thinspace。 E(Xn)={ 0,π2n/2Γ(2n+1),n为奇数n为偶数。其中 Γ \Gamma Γ函数（伽马函数）定义为 Γ ( s ) = ∫ 0 + ∞ e − t t s − 1 d t \Gamma(s)=\int_{0}^{+\infty}e^{-t}t^{s-1}\text{d}t Γ(s)=∫0+∞e−tts−1dt，有如下性质
- 递推公式： Γ ( s + 1 ) = s Γ ( s ) , ( s > 0 ) \Gamma(s+1)=s\Gamma(s),\space (s>0) Γ(s+1)=sΓ(s), (s>0)
- 几个重要的值： Γ ( 1 ) = 1 \Gamma(1)=1 Γ(1)=1， Γ ( 1 2 ) = π \Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi} Γ(21)=π
- 余元公式（暂不需要用到）： Γ ( s ) Γ ( 1 − s ) = π sin π s , ( 0 < s < 1 ) \Gamma(s)\Gamma(1-s)=\frac{\pi}{\sin\pi s},\space (0<s<1) Γ(s)Γ(1−s)=sinπsπ, (0<s<1)
证明：
记 X X X的密度函数为 φ ( x ) = 1 2 π e − x 2 2 \varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}} φ(x)=2π1e−2x2，先计算
∫ 0 + ∞ x n φ ( x ) d x = ∫ 0 + ∞ x n 1 π ⋅ e − ( x 2 ) 2 d x 2 = x = 2 t ∫ 0 + ∞ 2 n / 2 π ⋅ ( t ) n e − t d t = 1 2 ⋅ 2 n / 2 π ∫ 0 + ∞ t n − 1 2 e − t d t = 1 2 ⋅ 2 n / 2 π Γ ( n + 1 2 ) 。 \begin{aligned} \int_0^{+\infty}x^n\varphi(x)\text{d}x &\space\space\,=\space\space\, \int_0^{+\infty} x^n\frac{1}{\sqrt{\pi}}\cdot e^{-(\frac{x}{\sqrt{2}})^2} \text{d}\frac{x}{\sqrt{2}} \\ &\overset{x=\sqrt{2t}}{=} \int_0^{+\infty} \frac{2^{n/2}}{\sqrt{\pi}}\cdot (\sqrt{t})^ne^{-t} \text{d}\sqrt{t} \\ &\space\space\,=\space\space\, \frac{1}{2}\cdot\frac{2^{n/2}}{\sqrt{\pi}} \int_0^{+\infty}t^{\frac{n-1}{2}}e^{-t} \text{d}t \\ &\space\space\,=\space\space\, \frac{1}{2}\cdot\frac{2^{n/2}}{\sqrt{\pi}}\Gamma(\frac{n+1}{2}) \thinspace。 \end{aligned} ∫0+∞xnφ(x)dx = ∫0+∞xnπ1⋅e−(2x)2d2x=x=2t∫0+∞π2n/2⋅(t)ne−tdt = 21⋅π2n/2∫0+∞t2n−1e−tdt = 21⋅π2n/2Γ(2n+1)。当 n n n为奇数时，有
∫ − ∞ 0 x n φ ( x ) d x = x = − t ∫ + ∞ 0 ( − t ) n φ ( − t ) d ( − t ) = − ∫ 0 + ∞ t n φ ( t ) d t = t = x − ∫ 0 + ∞ x n φ ( x ) d x ， \int_{-\infty}^{0}x^n\varphi(x)\text{d}x \overset{x=-t}{=} \int_{+\infty}^{0}(-t)^n\varphi(-t)\text{d}(-t) = -\int_0^{+\infty}t^n\varphi(t)\text{d}t \overset{t=x}{=} -\int_0^{+\infty}x^n\varphi(x)\text{d}x \thinspace， ∫−∞0xnφ(x)dx=x=−t∫+∞0(−t)nφ(−t)d(−t)=−∫0+∞tnφ(t)dt=t=x−∫0+∞xnφ(x)dx，于是
E ( X n ) = ∫ − ∞ 0 x n φ ( x ) d x + ∫ 0 + ∞ x n φ ( x ) d x = 0 。 E(X^n) = \int_{-\infty}^{0} x^n\varphi(x) \text{d}x + \int_0^{+\infty} x^n\varphi(x) \text{d}x = 0 \thinspace。 E(Xn)=∫−∞0xnφ(x)dx+∫0+∞xnφ(x)dx=0。也可以这样来说明 n n n为奇数时 E ( X ) = 0 E(X)=0 E(X)=0：n 为 奇 数 φ ( x ) 为 偶 函 数 } ⇒ x n φ ( x ) 为 奇 函 数 ∫ 0 + ∞ x n φ ( x ) d x 为 定 值 } ⇒ x n φ ( x ) 为 奇 函 数 ∫ − ∞ + ∞ x n φ ( x ) d x 收 敛 } ⇒ E ( X ) = 0 。 \left.\begin{array}{r} \left.\begin{array}{r} n为奇数 \\ \varphi(x)为偶函数 \end{array}\right\} \Rightarrow x^n\varphi(x)为奇函数 \\ \int_{0}^{+\infty}x^n\varphi(x)dx为定值 \end{array}\right\} \Rightarrow \left.\begin{array}{r} x^n\varphi(x)为奇函数 \\ \int_{-\infty}^{+\infty}x^n\varphi(x)dx收敛 \end{array}\right\} \Rightarrow E(X)=0 \thinspace。 n为奇数φ(x)为偶函数}⇒xnφ(x)为奇函数∫0+∞xnφ(x)dx为定值⎭⎬⎫⇒xnφ(x)为奇函数∫−∞+∞xnφ(x)dx收敛}⇒E(X)=0。
当 n n n为偶数时，同理有E ( X n ) = ∫ − ∞ 0 x n φ ( x ) d x + ∫ 0 + ∞ x n φ ( x ) d x = 2 ∫ 0 + ∞ x n φ ( x ) d x = 2 n / 2 π Γ ( n + 1 2 ) 。 E(X^n) = \int_{-\infty}^{0} x^n\varphi(x)\text{d}x+\int_0^{+\infty}x^n\varphi(x) \text{d}x = 2\int_0^{+\infty} x^n\varphi(x) \text{d}x = \frac{2^{n/2}}{\sqrt{\pi}}\Gamma(\frac{n+1}{2}) \thinspace。 E(Xn)=∫−∞0xnφ(x)dx+∫0+∞xnφ(x)dx=2∫0+∞xnφ(x)dx=π2n/2Γ(2n+1)。
引理证明完毕。
设 X X X服从正态分布 N ( μ , σ 2 ) N(\mu,\sigma^2) N(μ,σ2)， Y Y Y服从标准正态分布 N ( 0 , 1 ) N(0,1) N(0,1)，则
E ( X ) = ∫ − ∞ + ∞ x 2 π σ e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 d x = x = μ + σ t ∫ − ∞ + ∞ μ + σ t 2 π e − t 2 2 d t = μ ∫ − ∞ + ∞ φ ( t ) d t + σ ∫ − ∞ + ∞ t φ ( t ) d t = μ E ( Y 0 ) + σ E ( Y 1 ) = μ 。 \begin{aligned} E(X) &\space\space\space\,=\space\space\space\, \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \text{d}x \\ &\overset{x=\mu+\sigma t}{=} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\mu+\sigma t}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}} \text{d}t \\ &\space\space\space\,=\space\space\space\, \mu\int_{-\infty}^{+\infty}\varphi(t)\text{d}t + \sigma\int_{-\infty}^{+\infty}t\varphi(t)\text{d}t \\ &\space\space\space\,=\space\space\space\, \mu E(Y^0) + \sigma E(Y^1) \\ &\space\space\space\,=\space\space\space\, \mu \thinspace。 \end{aligned} E(X) = ∫−∞+∞2πσxe−2σ2(x−μ)2dx=x=μ+σt∫−∞+∞2πμ+σte−2t2dt = μ∫−∞+∞φ(t)dt+σ∫−∞+∞tφ(t)dt = μE(Y0)+σE(Y1) = μ。
方差
V a r ( X ) = E ( ( X − E ( X ) ) 2 ) = ∫ − ∞ + ∞ ( x − μ ) 2 2 π σ e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 d x = x = μ + σ t σ 2 ∫ − ∞ + ∞ t 2 2 π e − t 2 2 d t = σ E ( Y 2 ) = σ 。 \begin{aligned} Var(X) &\space\space\space\,=\space\space\space\, E((X-E(X))^2) \\ &\space\space\space\,=\space\space\space\, \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{(x-\mu)^2}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \text{d}x \\ &\overset{x=\mu+\sigma t}{=} \sigma^2\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{t^2}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}} \text{d}t \\ &\space\space\space\,=\space\space\space\, \sigma E(Y^2) \\ &\space\space\space\,=\space\space\space\, \sigma \thinspace。 \end{aligned} Var(X) = E((X−E(X))2) = ∫−∞+∞2πσ(x−μ)2e−2σ2(x−μ)2dx=x=μ+σtσ2∫−∞+∞2πt2e−2t2dt = σE(Y2) = σ。
卡方分布
设 Y 1 , Y 2 , ⋯ , Y n Y_1,Y_2,\cdots,Y_n Y1,Y2,⋯,Yn为独立同分布的随机变量，且均服从标准正态分布，则称随机变量 X = ∑ i = 1 n Y i 2 X=\sum\limits_{i=1}^{n}Y_i^2 X=i=1∑nYi2服从自由度为 n n n的卡方分布。
概率密度函数
p ( x ) = { 1 2 n / 2 Γ ( n / 2 ) e − x 2 x n 2 − 1 , x > 0 0 , x ⩽ 0 。 p(x) = \left\{\begin{array}{cc} \frac{1}{2^{n/2}\Gamma(n/2)}e^{-\frac{x}{2}}x^{\frac{n}{2}-1}, & x>0 \\ 0, & x\leqslant 0 \end{array}\right. \thinspace。 p(x)={
2n/2Γ(n/2)1e−2xx2n−1,0,x>0x⩽0。
推导过程
证明 ∫ − ∞ + ∞ p ( x ) d x = 1 \int_{-\infty}^{+\infty}p(x)\text{d}x=1 ∫−∞+∞p(x)dx=1：
∫ 0 + ∞ 1 2 n / 2 Γ ( n / 2 ) e − x 2 x n 2 − 1 d x = 1 2 n / 2 Γ ( n / 2 ) ⋅ 2 n 2 ∫ 0 + ∞ e − x 2 ( x 2 ) n 2 − 1 d x 2 = 1 2 n / 2 Γ ( n / 2 ) ⋅ 2 n 2 Γ ( n / 2 ) = 1 。 \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{2^{n/2}\Gamma(n/2)}e^{-\frac{x}{2}}x^{\frac{n}{2}-1} \text{d}x = \frac{1}{2^{n/2}\Gamma(n/2)}\cdot 2^{\frac{n}{2}} \int_{0}^{+\infty} e^{-\frac{x}{2}}(\frac{x}{2})^{\frac{n}{2}-1} \text{d}\frac{x}{2} = \frac{1}{2^{n/2}\Gamma(n/2)}\cdot 2^{\frac{n}{2}}\Gamma(n/2) = 1 \thinspace。 ∫0+∞2n/2Γ(n/2)1e−2xx2n−1dx=2n/2Γ(n/2)1⋅22n∫0+∞e−2x(2x)2n−1d2x=2n/2Γ(n/2)1⋅22nΓ(n/2)=1。
数学期望
E ( X ) = E ( ∑ i = 1 n Y i 2 ) = ∑ i = 1 n E ( Y i 2 ) = ∑ i = 1 n E ( ( Y i − 0 ) 2 ) = ∑ i = 1 n V a r ( Y i ) = n 。 E(X) = E(\sum\limits_{i=1}^{n}Y_i^2)=\sum\limits_{i=1}^{n}E(Y_i^2) = \sum\limits_{i=1}^{n}E((Y_i-0)^2) = \sum\limits_{i=1}^{n}Var(Y_i) = n \thinspace。 E(X)=E(i=1∑nYi2)=i=1∑nE(Yi2)=i=1∑nE((Yi−0)2)=i=1∑nVar(Yi)=n。
方差
V a r ( X ) = V a r ( ∑ i = 1 n Y i 2 ) = ∑ i = 1 n V a r ( Y i 2 ) = ∑ i = 1 n ( E ( Y i 4 ) − E ( Y i 2 ) ) = ∑ i = 1 n ( 3 − 1 ) = 2 n 。 Var(X) = Var(\sum\limits_{i=1}^{n}Y_i^2) = \sum\limits_{i=1}^{n}Var(Y_i^2) = \sum\limits_{i=1}^{n}(E(Y_i^4)-E(Y_i^2)) = \sum\limits_{i=1}^{n}(3-1) = 2n \thinspace。 Var(X)=Var(i=1∑nYi2)=i=1∑nVar(Yi2)=i=1∑n(E(Yi4)−E(Yi2))=i=1∑n(3−1)=2n。
E ( Y i 4 ) E(Y_i^4) E(Yi4)的计算见上文正态分布数学期望的引理部分。
t \text{t} t分布
设 X X X服从标准正态分布 N ( 0 , 1 ) N(0,1) N(0,1)， Y Y Y服从卡方分布 χ 2 ( n ) \chi^2(n) χ2(n)，且 X X X与 Y Y Y相互独立，则称随机变量 T = X Y / n T=\frac{X}{\sqrt{Y/n}} T=Y/nX为服从自由度为 n n n的 t \text{t} t分布。
概率密度函数
p ( x ) = Γ ( n + 1 2 ) n π Γ ( n 2 ) ( 1 + x 2 n ) − n + 1 2 。 p(x) = \frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\sqrt{n\pi}\Gamma(\frac{n}{2})} (1+\frac{x^2}{n})^{-\frac{n+1}{2}} \thinspace。 p(x)=nπΓ(2n)Γ(2n+1)(1+nx2)−2n+1。
推导过程
证明 ∫ − ∞ + ∞ p ( x ) d x = 1 \int_{-\infty}^{+\infty}p(x)\text{d}x=1 ∫−∞+∞p(x)dx=1：
∫ − ∞ + ∞ p ( x ) d x = ∫ − ∞ + ∞ Γ ( n + 1 2 ) n π Γ ( n 2 ) ( 1 + x 2 n ) − n + 1 2 d x = x = n tan θ Γ ( n + 1 2 ) n π Γ ( n 2 ) ∫ 0 π 2 ( 1 cos 2 θ ) − n + 1 2 n cos 2 θ d θ = Γ ( n + 1 2 ) π Γ ( n 2 ) ⋅ ∫ 0 π 2 cos n − 1 θ d θ = Γ ( n + 1 2 ) π Γ ( n 2 ) ⋅ 1 2 B ( 1 2 , n 2 ) = Γ ( n + 1 2 ) π Γ ( n 2 ) ⋅ 1 2 ⋅ Γ ( 1 2 ) Γ ( n 2 ) Γ ( n + 1 2 ) = 1 ， \begin{aligned} \int_{-\infty}^{+\infty}p(x)\text{d}x &\quad\space=\quad\space \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\sqrt{n\pi}\Gamma(\frac{n}{2})}(1+\frac{x^2}{n})^{-\frac{n+1}{2}}\text{d}x \\ &\overset{\tiny x=\sqrt{n}\tan\theta}{=} \frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\sqrt{n\pi}\Gamma(\frac{n}{2})} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\frac{1}{\cos^2\theta})^{-\frac{n+1}{2}}\frac{\sqrt{n}}{\cos^2\theta}\text{d}\theta \\ &\quad\space=\quad\space \frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\sqrt{\pi}\Gamma(\frac{n}{2})}\cdot \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{n-1}\theta\text{d}\theta \\ &\quad\space=\quad\space \frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\sqrt{\pi}\Gamma(\frac{n}{2})}\cdot \frac{1}{2}B(\frac{1}{2},\frac{n}{2}) \\ &\quad\space=\quad\space \frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\sqrt{\pi}\Gamma(\frac{n}{2})}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{n}{2})}{\Gamma(\frac{n+1}{2})} \\ &\quad\space=\quad\space 1 \thinspace， \end{aligned} ∫−∞+∞p(x)dx = ∫−∞+∞nπΓ(2n)Γ(2n+1)(1+nx2)−2n+1dx=x=ntanθnπΓ(2n)Γ(2n+1)∫02π(cos2θ1)−2n+1cos2θndθ = πΓ(2n)Γ(2n+1)⋅∫02πcosn−1θdθ = πΓ(2n)Γ(2n+1)⋅21B(21,2n) = πΓ(2n)Γ(2n+1)⋅21⋅Γ(2n+1)Γ(21)Γ(2n) = 1，其中 B B B函数定义为
B ( x , y ) = ∫ 0 1 t x − 1 ( 1 − t ) y − 1 d t , ( x > 0 , y > 0 ) ， B(x,y) = \int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1}\text{d}t,\space(x>0,y>0) \thinspace， B(x,y)=∫01tx−1(1−t)y−1dt, (x>0,y>0)，令 t = sin 2 u t=\sin^2u t=sin2u可以得到 B B B函数的另一形式
B ( x , y ) = 2 ∫ 0 π 2 sin 2 x − 1 u cos 2 y − 1 u d u 。 B(x,y) = 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2x-1}u\cos^{2y-1}u\text{d}u \thinspace。 B(x,y)=2∫02πsin2x−1ucos2y−1udu。 Γ \Gamma Γ函数和 B B B函数有这样的关系
B ( x , y ) = Γ ( x ) Γ ( y ) Γ ( x + y ) 。 B(x,y) = \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)} \thinspace。 B(x,y)=Γ(x+y)Γ(x)Γ(y)。
数学期望
E ( T ) = E ( X ) E ( 1 Y / n ) = 0 ⋅ E ( 1 Y / n ) = 0 。 E(T) = E(X)E(\frac{1}{\sqrt{Y/n}}) = 0\cdot E(\frac{1}{\sqrt{Y/n}}) = 0 \thinspace。 E(T)=E(X)E(Y/n1)=0⋅E(Y/n1)=0。
方差
引理：若 X X X服从卡方分布 χ 2 ( n ) \chi^2(n) χ2(n)，那么当 k > − n 2 k>-\frac{n}{2} k>−2n时， E ( X k ) = 2 k ⋅ Γ ( n 2 + k ) Γ ( n 2 ) E(X^k)=2^k\cdot\frac{\Gamma(\frac{n}{2}+k)}{\Gamma(\frac{n}{2})} E(Xk)=2k⋅Γ(2n)Γ(2n+k)。
证明：
E ( X k ) = ∫ 0 + ∞ x k 1 2 n / 2 Γ ( n / 2 ) e − x 2 x n 2 − 1 d x = 1 2 n / 2 Γ ( n / 2 ) ∫ 0 + ∞ e − x 2 x n 2 + k − 1 d x = 2 n 2 + k 1 2 n / 2 Γ ( n / 2 ) ∫ 0 + ∞ e − x 2 ( x 2 ) n 2 + k − 1 d x 2 = 2 k ⋅ Γ ( n 2 + k ) Γ ( n 2 ) 。 \begin{aligned} E(X^k) &= \int_{0}^{+\infty}x^k\frac{1}{2^{n/2}\Gamma(n/2)}e^{-\frac{x}{2}}x^{\frac{n}{2}-1}\text{d}x \\ &= \frac{1}{2^{n/2}\Gamma(n/2)} \int_{0}^{+\infty}e^{-\frac{x}{2}}x^{\frac{n}{2}+k-1}\text{d}x \\ &= 2^{\frac{n}{2}+k} \frac{1}{2^{n/2}\Gamma(n/2)} \int_{0}^{+\infty}e^{-\frac{x}{2}}(\frac{x}{2})^{\frac{n}{2}+k-1}\text{d}\frac{x}{2} \\ &= 2^k\cdot\frac{\Gamma(\frac{n}{2}+k)}{\Gamma(\frac{n}{2})} \thinspace。 \end{aligned} E(Xk)=∫0+∞xk2n/2Γ(n/2)1e−2xx2n−1dx=2n/2Γ(n/2)1∫0+∞e−2xx2n+k−1dx=22n+k2n/2Γ(n/2)1∫0+∞e−2x(2x)2n+k−1d2x=2k⋅Γ(2n)Γ(2n+k)。
V a r ( T ) = E ( T 2 ) − ( E ( T ) ) 2 = E ( T 2 ) = n E ( X 2 ) W ( 1 Y ) = n ⋅ 1 ⋅ 2 − 1 Γ ( n 2 − 1 ) Γ ( n 2 ) = n n − 2 , ( n > 2 ) 。 \begin{aligned} Var(T) &= E(T^2)-(E(T))^2 \\ &= E(T^2) \\ &= nE(X^2)W(\frac{1}{Y}) \\ &= n\cdot 1\cdot 2^{-1}\frac{\Gamma(\frac{n}{2}-1)}{\Gamma(\frac{n}{2})} \\ &= \frac{n}{n-2},\space (n>2) \thinspace。 \end{aligned} Var(T)=E(T2)−(E(T))2=E(T2)=nE(X2)W(Y1)=n⋅1⋅2−1Γ(2n)Γ(2n−1)=n−2n, (n>2)。
F \text{F} F分布
设 U U U服从卡方分布 χ 2 ( m ) \chi^2(m) χ2(m)， V V V服从卡方分布 χ 2 ( n ) \chi^2(n) χ2(n)，且 U U U与 V V V相互独立，则称随机变量 F = U / m V / n F=\frac{U/m}{V/n} F=V/nU/m为服从自由度为 ( m , n ) (m,n) (m,n)的 F \text{F} F分布。
概率密度函数
p ( x ) = { Γ ( m + n 2 ) Γ ( m 2 ) Γ ( n 2 ) ( m n ) m 2 x m 2 − 1 ( 1 + m n x ) − m + n 2 , x > 0 0 , x ⩽ 0 。 p(x )= \left\{\begin{array}{cc} \frac{\Gamma(\frac{m+n}{2})}{\Gamma(\frac{m}{2})\Gamma(\frac{n}{2})}(\frac{m}{n})^{\frac{m}{2}}x^{\frac{m}{2}-1}(1+\frac{m}{n}x)^{-\frac{m+n}{2}}, & x>0 \\ 0, & x\leqslant 0 \end{array}\right. \thinspace。 p(x)={
Γ(2m)Γ(2n)Γ(2m+n)(nm)2mx2m−1(1+nmx)−2m+n,0,x>0x⩽0。
推导过程
F分布概率密度函数的推导
证明 ∫ − ∞ + ∞ p ( x ) d x = 1 \int_{-\infty}^{+\infty}p(x)\text{d}x=1 ∫−∞+∞p(x)dx=1：
∫ − ∞ + ∞ p ( x ) d x = Γ ( m + n 2 ) Γ ( m 2 ) Γ ( n 2 ) ( m n ) m 2 ∫ 0 + ∞ x m 2 − 1 ( 1 + m n x ) − m + n 2 d x = x = n m tan 2 θ Γ ( m + n 2 ) Γ ( m 2 ) Γ ( n 2 ) ( m n ) m 2 ∫ 0 π 2 ( n m ) m 2 − 1 tan m − 2 θ ⋅ ( 1 cos 2 θ ) − m + n 2 ⋅ 2 n sin θ m cos 3 θ d θ = Γ ( m + n 2 ) Γ ( m 2 ) Γ ( n 2 ) ⋅ 2 ∫ 0 π 2 sin m − 1 θ cos n − 1 θ d θ = Γ ( m + n 2 ) Γ ( m 2 ) Γ ( n 2 ) B ( m 2 , n 2 ) = 1 ， \begin{aligned} \int_{-\infty}^{+\infty}p(x)\text{d}x &\quad\space\,=\quad\space\, \frac{\Gamma(\frac{m+n}{2})}{\Gamma(\frac{m}{2})\Gamma(\frac{n}{2})} (\frac{m}{n})^{\frac{m}{2}} \int_{0}^{+\infty} x^{\frac{m}{2}-1} (1+\frac{m}{n}x)^{-\frac{m+n}{2}} \text{d}x \\ &\overset{\tiny x=\frac{n}{m}\tan^2\theta}{=} \frac{\Gamma(\frac{m+n}{2})}{\Gamma(\frac{m}{2})\Gamma(\frac{n}{2})} (\frac{m}{n})^{\frac{m}{2}} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\frac{n}{m})^{\frac{m}{2}-1}\tan^{m-2}\theta\cdot (\frac{1}{\cos^2\theta})^{-\frac{m+n}{2}}\cdot \frac{2n\sin\theta}{m\cos^3\theta} \text{d}\theta \\ &\quad\space\,=\quad\space\, \frac{\Gamma(\frac{m+n}{2})}{\Gamma(\frac{m}{2})\Gamma(\frac{n}{2})}\cdot 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{m-1}\theta\cos^{n-1}\theta \text{d}\theta \\ &\quad\space\,=\quad\space\, \frac{\Gamma(\frac{m+n}{2})}{\Gamma(\frac{m}{2})\Gamma(\frac{n}{2})} B(\frac{m}{2},\frac{n}{2}) \\ &\quad\space\,=\quad\space\, 1 \thinspace， \end{aligned} ∫−∞+∞p(x)dx = Γ(2m)Γ(2n)Γ(2m+n)(nm)2m∫0+∞x2m−1(1+nmx)−2m+ndx=x=mntan2θΓ(2m)Γ(2n)Γ(2m+n)(nm)2m∫02π(mn)2m−1tanm−2θ⋅(cos2θ1)−2m+n⋅mcos3θ2nsinθdθ = Γ(2m)Γ(2n)Γ(2m+n)⋅2∫02πsinm−1θcosn−1θdθ = Γ(2m)Γ(2n)Γ(2m+n)B(2m,2n) = 1，其中关于 B B B函数的定义见上文 t \text{t} t分布的证明 ∫ − ∞ + ∞ p ( x ) d x = 1 \int_{-\infty}^{+\infty}p(x)\text{d}x=1 ∫−∞+∞p(x)dx=1部分。
数学期望
E ( F ) = n m E ( U ) E ( 1 V ) = n m ⋅ m ⋅ 2 − 1 Γ ( n 2 − 1 ) Γ ( n 2 ) = n n − 2 , ( n > 2 ) 。 E(F) = \frac{n}{m}E(U)E(\frac{1}{V}) = \frac{n}{m}\cdot m\cdot 2^{-1}\frac{\Gamma(\frac{n}{2}-1)}{\Gamma(\frac{n}{2})} = \frac{n}{n-2},\space (n>2) \thinspace。 E(F)=mnE(U)E(V1)=mn⋅m⋅2−1Γ(2n)Γ(2n−1)=n−2n, (n>2)。
E ( 1 V ) E(\frac{1}{V}) E(V1)的计算见上文 t \text{t} t分布方差的引理部分。
方差
V a r ( F ) = E ( F 2 ) − ( E ( F ) ) 2 = n 2 m 2 E ( U 2 ) E ( 1 V 2 ) − ( E ( F ) ) 2 = n 2 m 2 ⋅ 2 2 Γ ( m 2 + 2 ) Γ ( m 2 ) ⋅ 2 − 2 Γ ( n 2 − 2 ) Γ ( n 2 ) − ( n n − 2 ) 2 = n 2 m 2 ⋅ ( m + 2 ) m ⋅ 1 ( n − 2 ) ( n − 4 ) − n 2 ( n − 2 ) 2 = 2 n 2 ( m + n − 2 ) m ( n − 2 ) 2 ( n − 4 ) , ( n > 4 ) 。 \begin{aligned} Var(F) &= E(F^2) - (E(F))^2 \\ &= \frac{n^2}{m^2}E(U^2)E(\frac{1}{V^2}) - (E(F))^2 \\ &= \frac{n^2}{m^2}\cdot 2^2\frac{\Gamma(\frac{m}{2}+2)}{\Gamma(\frac{m}{2})}\cdot 2^{-2}\frac{\Gamma(\frac{n}{2}-2)}{\Gamma(\frac{n}{2})} - (\frac{n}{n-2})^2 \\ &= \frac{n^2}{m^2}\cdot (m+2)m\cdot \frac{1}{(n-2)(n-4)} - \frac{n^2}{(n-2)^2} \\ &= \frac{2n^2(m+n-2)}{m(n-2)^2(n-4)},\space (n>4) \thinspace。 \end{aligned} Var(F)=E(F2)−(E(F))2=m2n2E(U2)E(V21)−(E(F))2=m2n2⋅22Γ(2m)Γ(2m+2)⋅2−2Γ(2n)Γ(2n−2)−(n−2n)2=m2n2⋅(m+2)m⋅(n−2)(n−4)1−(n−2)2n2=m(n−2)2(n−4)2n2(m+n−2), (n>4)。
E ( U 2 ) E(U^2) E(U2)和 E ( 1 V 2 ) E(\frac{1}{V^2}) E(V21)的计算见上文 t \text{t} t分布方差的引理部分。