19. 二元连续型随机变量，联合概率密度

二元连续型随机变量，联合概率密度

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联合概率密度函数

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定义：对于二元随机变量 $(X, Y)$ 的 分布函数 $F(x, y)$，如果存在非负函数 $f(x,y)$，使对于任意 $x,y$，有

$F(x,y) = \int_{-\infty}^{x}\int_{-\infty}^{y}f(u, v)\,{\rm d}u{\rm d}v$

称 $(X,Y)$ 为二元连续型随机变量。

并称 $f(x,y)$ 为二元随机变量 $(X,Y)$ 的 （联合）概率密度（函数）。

概率密度的性质

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1. $f(x,y) \geq 0$

2. $\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)\, {\rm d}x {\rm d}y = 1$

3. 设 $D$ 是 $xoy$ 平面上的区域，点 $(X, Y)$ 落在 $D$ 内的概率为：

$P((X,Y)\in D) = \underset{D}{\iint}f(x,y) \,{\rm d}x{\rm d}y$

4. 在 $f(x,y)$ 的连续点 $(x,y)$,有 $\cfrac{\partial^{2}F(x,y)}{\partial x\partial y}= f(x,y)$

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例 1： 设二元随机变量 $(X,Y)$ 具有概率密度：

$f(x,y)= \begin{cases} ke^{-(2x+3y)}, & x>0,y>0 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$

（1）求常数 $k$；
（2）求分布函数 $F(x,y)$；
（3）求 $P(Y\leq X)$ 的概率。

解：（1）

$\begin{aligned} 1 &= \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y) \, {\rm d}x{\rm d}y \\ &=\int_{0}^{\infty} \, {\rm d}x \int_{0}^{\infty} ke^{-(2x+3y)} \, {\rm d}y=k\int_{0}^{\infty}e^{-2x} \, {\rm d}x \int_{0}^{\infty} e^{-3y} \, {\rm d}y \\ &= k\left(-\cfrac{1}{2}\, e^{-2x}\right)_{0}^{\infty}\left(-\cfrac{1}{3}\, e^{-3y}\right)_{0}^{\infty} = k/6 \implies k = 6 \end{aligned}$

前面已得：

$f(x,y) \begin{cases} 6e^{-(2x+3y)}, & x>0, y>0 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$

（2）

$\begin{aligned} F(x,y) &= P(X\leq x, Y\leq y)=\int_{-\infty}^{x}\int_{-\infty}^{y} f(u,v) \, {\rm d}x{\rm d}y \\ &=\begin{cases} \int_{0}^{x}\,{\rm d}u\int_{0}^{y}6e^{-(2u+3v)}{\rm d}v, & x>0,y>0 \\ 0, & \text{除第一象限} \end{cases} \\ &=\begin{cases} \int_{0}^{x}\,2e^{-2u}{\rm d}u\int_{0}^{y}3e^{-3v}{\rm d}v, & x>0,y>0 \\ 0, & \text{其他} \end{cases} \\ &=\begin{cases} (1-e^{-2x})(1-e^{-3y}) & x>0,y>0 \\ 0, & \text{其他} \end{cases} \end{aligned}$

前面已得：

$f(x,y) \begin{cases} 6e^{-(2x+3y)}, & x>0, y>0 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$

(3)

$\begin{aligned} P(Y\leq X) &= \underset{y\leq x}{\iint}f(x,y) \,{\rm d}x{\rm d}y \\ &=\int_{0}^{\infty}\,{\rm d}y \int_{y}^{\infty}6e^{-(2x+3y)} \,{\rm d}x \\ &= \int_{0}^{\infty}3e^{-3y}e^{-2y}\,{\rm d}y \\ &= \int_{0}^{\infty}3e^{-5} \,{\rm d}y = -\cfrac{3}{5} e^{-5y} |_{0}^{\infty} = \cfrac{3}{5} \end{aligned}$