连续型随机变量及其概率密度
定义: 对于随机变量
X 的分布函数
F(x),若存在非负的函数
f(x),使对于任意实数
x 有:
F(x)=∫−∞xf(t)dt
则称
X 为连续型随机变量,其中
f(x) 称为
X 的概率密度函数,检测概率密度。
f(x) 的性质:
(1)
f(x)≥0;
(2)
∫−∞+∞f(x)dx=1;
∵F(+∞)=1
(3) 对于任意的实数
x1,x2(x1≤x2)
P(x1<X≤x2)=∫x1x2f(t)dt;
∵LHS=P(X≤x2)−P(X≤x1)=F(x2)−F(x1)=∫−∞x2f(t)dt−∫−∞x1f(t)dt
⟹ 对任意的实数
a,
P(X=a)=0. 且
P(x1<X≤x2)=P(x1<X<x2)
对于连续型的随机变量
X,有
P(X∈D)=∫Df(x)dx,任意D⊂R.
(4)在
f(x) 连续点
x,
F′(x)=f(x).
即在
f(x) 的连续点
f(x)=F′(x)=Δx→0limΔxF(x+Δx)−F(x)=Δx→0limΔxP(x<X≤x+Δx)
P(x<X≤x+Δx)≈f(x)⋅Δx
这表示
X 落在点
x 附近
(x,x+Δx] 的概率近似等于
f(x)Δx
说明:
(1)
f(x) 值的含义;
当
Δx 充分小时,
P(x<X≤x+Δx)≈f(x)⋅Δx
(2)
f(x)的值是可以大于1的;
(3)
f(x)
∫−∞xf(t)dtF(x)
F(x)
dxdF(x)f(x)
例 1: 设
X 的概率密度为
f(x)={cx+1/6,0,0<x<2;其他.
求:(1)常数
c 的值;(2)
X 的概率分布函数
F(x);(3)
P(−1<X<1) 的值。
解 :
(1)
1=∫−∞+∞f(x)dx=∫−∞0f(x)dx+∫02f(x)dx+∫2+∞f(x)dx=∫−∞00dx+∫02(cx+61)dx+∫2+∞0dx=∫02(cx+61)dx=(2cx2+61x)∣∣∣∣02=2c×22+61×2⟹c=31.
(2)
f(x)={x/3+1/6,0,0<x<2;其他.
F(x)=P{X≤x}=∫−∞xf(t)dt
由第 1 问可知,
∫02(cx+61)dx=1,等价于
P{X∈(0,2}=1
a. 当
x<0 时,
F(x)=P{X≤x}=∫−∞x0dt=0;
b. 当
x≥2 时,
(0,2)⊂(−∞,x],故
F(x)=P{X≤x}=1;
c. 当
0≤x<2 时
F(x)=P{X≤x}=∫−∞xf(t)dt=∫−∞0f(t)dt+∫0xf(t)dt=∫−∞00dt+∫0x(3t+61)dt=(6t2+6t)∣∣∣∣0x=6x2+6x
即
F(x)=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧0,6x2+6x,1,x<0;0≤x<2;x≥2.
(3)
f(x)={x/3+1/6,0,0<x<2;其他.
P(−1<X<1)=∫−11f(x)dx=∫−10f(x)dx+∫01f(x)dx=∫−100dx+∫01(3x+61)dx=0+(6x2+6x)∣∣∣∣∣01=31.
或
F(x)=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧0,6x2+6x,1,x<0;0≤x<2;x≥2.
P(−1<X<1)=F(1)−F(−1)=612+61−0=31