数学定义随机变量、概率密度函数、分布函数

很多资料都没有给出数学属性，而是使用例子，使用数字来代替“随机变量”这样一个函数，特整理于此。

随机变量

随机变量的要求是满足

• 是一个实值函数
• 是一个可测函数
  教材中一般用大写字母表示。
  可测定义：
  对任意实数x，{w:X（w）<=X}∈F 【F为事件集合】
  提出随机变量的目的：
• 当原空间的元素过于复杂或者表达起来不如实数值方便，所以我们就把原空间的概率空间三元素(S,B,P)映射到关于实数的空间上(Ω， $B_{Ω}$)
• 但是, 这个实数空间是没有定义概率的，我们想要知道这个空间中一个事件的概率，比如P（X≤x）。
• 因为随机变量空间没有定义概率，就需要将{X≤x}这个事件通过随机变量映射回原概率空间去求，问题中描述的事件{ω：X（ω）<=x}，就是逆回去的结果。
• 综上，随机变量的提出是提出一种到实数空间的映射

$X: w →\mathbb{R}$

概率密度

下面给出连续型随机变量和其概率密度函数的定义：设X为随机变量，x为随机变量的取值，对任意a，b有非负可积函数f（x）满足如图关系，

则称X为连续型随机变量，f（x）为随机变量X的概率密度函数，并称随机变量X服从f（x）。
记作X~f（x）。

分布函数

变量小于等于某个特定值a的概率（也是积分的结果）
$\text { F(a) }=\int_{-\infty}^{a} x p(x)dx \\=\mathbb{P}(X\leqslant a)$
其中小p是pdf: probability density function概率密度函数
从数学上看，分布函数F(x)=P(X<x)，表示随机变量X的值小于x的概率。这个意义很容易理解。概率密度f(x)是F(x)在x处的关于x的一阶导数，即变化率。如果在某一x附近取非常小的一个邻域Δx，那么，随机变量X落在(x, x+Δx)内的概率约为f(x)Δx，即P(x<X<x+Δx)≈f(x)Δx。换句话说，概率密度f(x)是X落在x处“单位宽度”内的概率。“密度”一词可以由此理解。

参考：https://www.zhihu.com/question/21911186/answer/256038396

期望

同样应该理解为积分的结果：
$\begin{aligned} &\mathbb{E}[X]=\int x d \mathbb{P}(x)=\int x p(x) d x \end{aligned}$

参考：https://www.zhihu.com/question/43721834/answer/518143024