连续型随机变量及其概率密度(习题部分)

例一·测量电压

设在一电路中，电阻两喘的电压(V)服从 $N(120,2^2).$今独立测量了 $5$次，试确定有 $2$次测定值落在区间 $[118,122]$之外的概率.

思路

设第 $i$次的测量值为 $X_i$， $i=1,2,3,4,5,$则 $X_i \sim N(120,2^2)$,代入公式得 $\begin{array}{l} P\left\{118 \leqslant X_{i} \leqslant 122\right\}=\Phi\left(\frac{122-120}{2}\right)-\Phi\left(\frac{118-120}{2}\right) \\ \quad=\Phi(1)-\Phi(-1)=2 \Phi(1)-1=0,6826 \\ P\left\{X_{i} \notin[118,122]\right\}=1-P\{118 \leqslant X \leqslant 122\}=0.3174, i=1,2,3,4,5 \end{array}$
因各个 $X_i$相互独立，故用 $Y$表示 $5$次测量其测量值 $X_i$落在区间 $[118,122]$之外的个数，则 $Y \sim b(5,0.3174)$
代入公式得 $P\{Y=2\}=\left(\begin{array}{l} 5 \\ 2 \end{array}\right)(0.3174)^{2}(0.6826)^{3}=0.3204$

例二·等待指示灯的时间

某人上班，自家里去办公楼要经过一交通指示灯，这一指示灯有80%时间亮红灯，此时他在指示灯旁等待直至绿灯亮，等待时间在区间 $[0,30]$(以秒计)服从均匀分布.以X表示他的等待时间.求X的分布函数F(x)，并问X是否为连续型随机变量，是否为离散型的? (要说明理由)

思路

当他到达交通 指示灯处时,若是亮绿灯,则等待时间X为零,亮红灯则等待时间X服从均匀分布.记A为事件“指示灯亮绿灯”,对于固定的x≥0,由全概率公式有 $P\{X \leqslant x\}=P\{X \leqslant x | A\} P(A)+P\{X \leqslant x|\bar{A}\rangle P(\bar{A})$
$其中P\{X \leqslant x | A\}=1, P\{X \leqslant x | \bar{A}\}=\frac{x}{30}(当0 \leqslant x \leqslant 30), P(X \leqslant x | \bar{A})=$
$1(当 x>30), 由P(A)=0.2 得到$
$P\{X \leqslant x\}=1 \times 0.2+\frac{x}{30} \times 0.8=0.2+\frac{0.8 x}{30}(当0 \leqslant x \leqslant 30)$
$P\{X \leqslant x\}=1 \times 0,2+1 \times 0.8=1 \quad\left(当 x>30\right)$
$于是得到X的分布函数$ $F(x)=P\{X \leqslant x\}=\left\{\begin{array}{ll}0, & x<0 \\ 0.2+\frac{0.8 x}{30}, & 0 \leqslant x<30 \\ 1, & x \geqslant 30\end{array}\right.$

例三·求概率密度

设 $X\sim N(0,1)$,求 $Y=e^X$的概率密度.

思路

因为 $Y=e^X$大于0，故当 $y<0$时， $f_Y(y)=0$；当 $y>0$时，注意到 $X\sim N(0,1)$，因而可以求出 $Y$的分布函数为 $\begin{aligned} &F_{Y}(y)=P\{Y \leqslant y\}=P\{0<Y \leqslant y\}=P\left\{0<\mathrm{e}^{x} \leqslant y\right\}\\ &-P\{-\infty<X \leqslant \ln y\}=\Phi(\ln y) \end{aligned}$
进而求得
$f_{Y}(y)=\frac{d}{d y} F_{Y}(y)=\left.\frac{d}{d x} \Phi(x)\right|_{x=\ln y} \cdot \frac{1}{y}=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{1}{2}(\ln y)^{2}} \cdot \frac{1}{y}$
于是， $Y=e^X$的概率密度为 $f_{Y}(y)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{1}{\sqrt{2 \pi} y} \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}(\ln y)^{2}} \cdot, & y>0 \\ 0, & 其他 \end{array}\right.$

例四·使用引理求概率密度

设随机变量 $X$的概率密度为 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll} e^{-x}, & x>0 \\ 0, & 其他 \end{array}\right.$
求 $Y=X^2$的概率密度.

思路

$Y=X^2$，即有 $y=g(x)=x^2$，在 $x>0$时， $g(x)$单调递增，具有反函数 $x=h(y)=y^{1/2}$,又有 $h^{\prime}(y)=\frac{1}{2} y^{-1 / 2}$由课本引理得 $Y=X^2$的概率密度为 $f_{Y}(y)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{1}{2 \sqrt{y}} e^{-\sqrt{y}}, & y>0 \\ 0, & 其他 \end{array}\right.$