连续型随机变量及其概率密度(知识点部分)

$1.$连续型随机变量

如果对于随机变量 $X$的分布函数 $F(x)$，存在非负可积函数 $f(x)$，使对于任意实数 $x$有 $F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)dt,$
则称 $X$为连续型随机变量， $f(x)$称为的概率密度函数，简称概率密度.

$2.$概率密度 $f(x)$的性质

$(1)f(x)\geqslant0;\;$

$(2)\int_{-\infty}^{\infty} f(x) d x=1;$

$(3)对于任意实数x_1,x_2,(x_{1} \leq x_{2})$
${P}\{x_1<X \leq x_{2}\}=F(x_2)-F(x_1)=\int_{x_{1}}^{x_{2}} f(x) d x;$
$(4)若f(x)在点x处连续，则有F^{\prime}(x)=f(x);$

$(5)P\{X=a\}=0.$

$3.$均匀分布

若连续型随机变量 $X$具有概率密度 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{1}{b-a}, & a<x<b ，\\ 0, &其他， \end{array}\right.$
则称 $X$在区间 $(a,b)$上服从均匀分布.记为 $X \sim U(a,b)$.
$X$的分布函数为 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 0, &x<a ，\\ \frac{x-a}{b-a}, &a \leq x \leq b，\\ 1, &x\geqslant b \end{array}\right.$

$4.$指数分布

若连续型随机变量 $X$的概率密度为 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{1}{\theta} e^{-\frac{x}{\theta} }，&x>0,\\ 0, & 其他, \end{array}\right.$
其中 $\theta>0$为常数，则称 $X$服从参数为 $\theta$的指数分布.
$X$的分布函数为 $F(x)=\left\{\begin{array}{ll} 1- e^{-\frac{x}{\theta} }，&x>0,\\ 0, & 其他, \end{array}\right.$
服从指数分布的随机变量 $X$具有以下有趣的性质:
对于任意 $s,t>0,$有 $P\{X>s+t|X>s\}=P\{X>t\}$
称为无记忆性.

$5.$正态分布

若连续型随机变量 $X$的概率密度为 $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \mathrm{e}^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} },-\infty<x<\infty$
其中 $\mu,\sigma(\sigma>0)$为常数，则称 $X$为服从参数为 $\mu,\sigma$的正态分布或高斯分布，记为 $X \sim N(\mu,\sigma).$
$X$的分布函数为 $\begin{aligned} &F(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma} \int_{-\infty}^{x} e^{-\frac{(t-\mu)^{2}}{2 \sigma^{2}}} d t\\ \end{aligned}$
特别，当 $\mu=0,\sigma=1$时称随机变量 $X$服从标准正态分布.其概率密度和分布函数分别用 $\varphi(x),\Phi(x)$表示即有 $\begin{aligned} &\varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}\\\end{aligned}$
$\begin{aligned} &\Phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{x} e^{-\frac{t^2}{2}} d t\\ \end{aligned}$
易知 $\Phi(-x)=1-\Phi(x)$

$6.$引理

若 $X \sim N(\mu,\sigma^2)$，则 $Z=\frac{X-\mu}{\sigma} \sim N(0,1)$
于是，若 $X \sim N(\mu,\sigma^2)$，则它的分布函数 $F(x)$可写成 $\begin{aligned} &F(x)=P\{X \leq x\}=P\left\{\frac{X-\mu}{\delta} \leq \frac{x-\mu}{\delta}\right\}=\Phi\left(\frac{x-\mu}{\delta}\right)\\ \end{aligned}$
对于任意区间 $(x_1,x_2]$，有 $\begin{aligned}&P\left\{x_{1}<X \leq x_{2}\right\}=P\left\{\frac{x_{1}-\mu}{\delta}<\frac{X-\mu}{\delta} \leq \frac{x_{2}-\mu}{\delta}\right\}\\ &=\Phi\left(\frac{x_{2}-\mu}{\delta}\right)-\Phi\left(\frac{x_{1}-\mu}{\delta}\right) \end{aligned}$

$6.$上 $α$分位点

设 $X \sim N(0,1)$，若 $z_\alpha$满足条件 $p\{X>z_\alpha\}=\alpha,0<\alpha<1,$
则称点 $z_\alpha$为标准正态分布的上 $α$分位点.

$7.$随机变量的函数的分布

设随机变量 $X$具有概率密度 $f_x(x)$， $-\infty<x<\infty,$又设函数 $g(x)$处处可导且恒有 $g^{\prime}(x)>0，(或恒有g^{\prime}(x)<0)，$则 $Y=g(X)$是连续型随机变量，其概率密度为 $f_Y(y)=\left\{\begin{array}{ll} f_X[h(y)]|h^{\prime}{y}|, & \alpha<x<\beta ，\\ 0, &其他， \end{array}\right.$
其中 $\alpha=min\{g(-\infty),g(\infty)\},\beta=max\{g(-\infty),g(\infty)\}$， $h(y)$是 $g(x)$的反函数.

$8.$其他几个结论

$(1)设随机变量，那么X的线性函数Y=aX+b(a\not =0)也服从正态分布.$
$(2)设f(x),g(x)都是概率密度函数，那么$ $h(x)=af(x)+(1-a)g(x),0 \leq a \leq 1$ $也是一个概率密度函数.$
$(3)设X服从参数为\theta的指数分布，F(x)为X的分布函数，设Y=F(X)，那么$ $Y \sim N(0,1).$