線形代数の基本を確認
機械学習は、線形代数のいくつかの基本的な知識が必要です。
マトリックス：マトリックス
\ [A = \ {} bmatrix 1402＆191 \\ 1371＆821 \\ 949＆1437 \\ 147＆1448を開始\\ \端{bmatrix} \]
\ [B = \ {bmatrix} 1＆2＆3 \\ 4＆5＆6を始める\\ \端{bmatrix} \]
- Aは、\（4 \ times2 \） 4行2列からなるマトリックス、及び2つのブラケットで囲ま。呼ぶ（4 {^ R＆LT \ times2} \）\。
- Bは、\（2 \ times3 \）、 2行3列の行列と、2つの括弧で囲まれています。呼ぶ（R＆LT ^ {2 \ times3} \）\。
- \（A_ {ijは} \）行列の要素を示すために使用され、ここで\（I \）ライン行列を表します。\（J \）の列は行列を表します
- \（A_ {11} = 1402 \）
- \（A_ {12} = 191 \）
- \（A_ {132} = 1437 \）
- \（A_ {41} = 147 \）
- \（A_ {43} =不定\）
ベクトル：ベクトル
\ [Y = \ {bmatrix} 460 \\ 232 \\ 315 \\ 178を開始\\ \端{bmatrix} \]
\（Yが\）ベクトルの集合であり、ベクトルのように見ることができる\（{N \ times1} \ ） マトリックス。ここで、n = 4、それと呼ばれる\（R＆LT 4 ^ {} \） 。
\（Y_Iは\）最初のベクトルで\（I ^ {番目} \ ） 要素
- \（Y_1 = 460 \）
- \（Y_2 = 232 \）
- \（Y_3 = 315 \）
シニアの友達の言語を学ぶことは、たとえば、ベクトルインデックスでC ++ STL標準ライブラリはゼロからカウントされ、知っている必要があります。現実の人々が学ぶには、ほとんどの人は最初からに使用されています。したがって、機械学習を学習し、我々は一般的にスタートとして1を使用し、プログラム実施の準備で、その後、0に戻します。
MATLABプログラムの期間を添付
% The ; denotes we are going back to a new row. A = [1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9; 10, 11, 12] % Initialize a vector v = [1;2;3] % Get the dimension of the matrix A where m = rows and n = columns [m,n] = size(A) % You could also store it this way dim_A = size(A) % Get the dimension of the vector v dim_v = size(v) % Now let's index into the 2nd row 3rd column of matrix A A_23 = A(2,3)A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 v = 1 2 3 m = 4 n = 3 dim_A = 4 3 dim_v = 3 1 A_23 = 6
行列の加算
\ [\ \ \\ {bmatrix} 1＆0 \\ 2＆5 \\ 3＆1を開始端{bmatrix} + \ {bmatrix} 4＆0.5 \\ 2＆5 \\ 0＆1を開始\\ \端を{bmatrix} = \ {bmatrix} 5＆0.5 \\ 4＆10 \\ 3＆2を開始\\ \端{bmatrix} \]
上記マトリックスを追加の例があります。
まず、二つの行列は同じ寸法、すなわち、同じ行数の列の同じ数を有しています。
二つの行列の加算は、その後、足し新しい行列を取得するデジタル位置し、この行列と元の2つの行列と同じ寸法です。
添加例えば、異なる寸法にすることができない：
1} \ [\＆bmatrix開始4＆\ {0 \\ \\ 3 5＆2 1＆\\ \エンドbmatrix} + {\ {0.5始めるbmatrixは}。 \ 2＆5 \\ \端{ bmatrix} = \ mathop {エラー} \]
行列乗算
\ [3 \回\ \\ {bmatrix} 1＆0 \\ 2＆5 \\ 3＆1を開始\端{bmatrix} = \ {bmatrix} 3・0 \\ 6＆15 \\ 9＆3を開始する\ \ \端{bmatrix} = \ {bmatrix} 1＆0 \\ 2＆5 \\ 3＆1 \\ \端{bmatrixを}開始\ times3 \]
上記の例の行列乗算は、実数行列の乗算を注意してください。
行列の個々の要素の直接の結果は、同じ寸法必見の新しい行列を得るために、実数と乗算されています
実際の行列の乗算のために、それは結果の後に影響を取る取るか、しないことです
乗算除算のような：
。。。。。。\ [\ \\} {始める4. 3＆0をbmatrix \\＆6 \ bmatrix終了{} \ setminus 4 = \ FRAC 1 {{}} 4 \時間\ {0}開始bmatrix 3＆\ \ 6＆15 \\ \端{ bmatrix} = \ {bmatrix} 1・0を開始\\ \ FRAC {3} {2}＆\ FRAC {3} {4} \\ \端{bmatrix} \ times3 \]
演習
\ [\ {eqnarray}を開始＆＆3 \回1 \\ 4 \\ 2 {bmatrix}を開始する\ \\ \端{bmatrix} + \ {bmatrix} 0 \\ 0 \\ 5を開始\\ \端{bmatrix } - \ {bmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \\ \端{bmatrix} \ setminus 3 \\を開始＆=＆\ {bmatrix} 3 \\ 12 \\ 6 \\ \端{bmatrix} +を開始\開始{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 5 \\ \端{bmatrix} - \ {bmatrix}開始1 \\ 0 \\ \ FRAC {2} {3} \\ \端{bmatrix} \\＆=＆ \開始{bmatrix} 2 \\ 12 \\ \ FRAC {31} {3} \\ \端{bmatrix} \\ \端{eqnarray} \]
MATLABコード：
% Initialize matrix A and B A = [1, 2, 4; 5, 3, 2] B = [1, 3, 4; 1, 1, 1] % Initialize constant s s = 2 % See how element-wise addition works add_AB = A + B % See how element-wise subtraction works sub_AB = A - B % See how scalar multiplication works mult_As = A * s % Divide A by s div_As = A / s % What happens if we have a Matrix + scalar? add_As = A + sA = 1 2 4 5 3 2 B = 1 3 4 1 1 1 s = 2 add_AB = 2 5 8 6 4 3 sub_AB = 0 -1 0 4 2 1 mult_As = 2 4 8 10 6 4 div_As = 0.5000 1.0000 2.0000 2.5000 1.5000 1.0000 add_As = 3 4 6 7 5 4
行列ベクトル乗算
\ [\回\ {bmatrix} 1＆3 \\ 4＆0 \\ 2＆1 \\\端{bmatrixを}開始{bmatrix} 1 \\ 5 \\\端{bmatrixを}開始\ = \ {bmatrixを開始} 16 ^ {（1）} \\ 4 ^ {（2）} \\ 7 ^ {（3）} \\\端{bmatrix} \\\開始{eqnarray} 1 \回1 + 3 \回5 = 16 \タグ{1} \\ 4 \回1 + 0 \ 5倍= 4 \タグ{2} \\ 2 \回1 + 1 \ 5倍= 7 \タグ{3} \\\端{eqnarray} \ ]
表示マトリックスベクトル乗算式及び手順、上記の特定の例があります
を乗じました：
- セット行列\（A \） 、ベクトル\（B \） 。
- \（A_j B_i = \） （列の数は、ラインBの数Aに等しいです）
AとBのそれぞれの行要素は、一つの列、とを加算した値を乗算されます。
新しい行列の行数と同じベクターで同じ数の列を得ます。
次の例を参照することができる：
\ [\}開始{\\ A＆B＆C D E＆F \\\ \\ bmatrix終了{} * \ bmatrix開始{X}終了{bmatrix \\\ \\ Y bmatrix } = \ {bmatrix}始める ] \ * X + B * Y \\ C * X + D * Y \\ E * X + F * Y \\\端{bmatrixを}MATLABコード：
% Initialize matrix A A = [1, 2, 3; 4, 5, 6;7, 8, 9] % Initialize vector v v = [1; 1; 1] % Multiply A * v Av = A * vA = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 v = 1 1 1 Av = 6 15 24
行列と行列の乗算
現在、このような式を計算
\ [\ {bmatrix} 1始める {bmatrix} 1＆3 \\ 0 1 \\ 5始める\ *＆3＆2 \\ 4＆0＆1 \\\端{bmatrixを} ＆2 \\\端{bmatrix} \
] 、第2のマトリックスは、2つのベクトルに分割占有だけ学習したベクトル行列である
\ [\ {bmatrix} 1始める ＆3＆2 \\ 4＆0＆1 \ \\端{bmatrix} * \開始 {bmatrix} 1 \\ 0 \\ 5 \\\端{bmatrix} = \開始{bmatrix} 11 \\ 9 \\\端{bmatrix} \]
\ [\端{bmatrix} * \開始{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \\\端{bmatrix} \\\ {bmatrix} 1＆3＆2 \\ 4＆0＆1を始める= \ {始まりますbmatrix} 10 \\ 14 \\\端{bmatrix} \]
実際には、我々は最後のステップのみが異なる、計算を行ってきた、元の列の順序は、あなたが得ることができ、マージにお答えします
\ [\ {bmatrix} 1開始 ＆3＆2 \\ 4＆0＆1 \\\エンド{bmatrixを} * \ {bmatrix} 1＆3始める ] \ \\ 0 1 \\ 5＆2 \\\端{bmatrix} = \開始{bmatrix} 11＆10 \\ 9＆14 \\\端{bmatrixを}
を乗じました：
- マトリックス1が設定されている\（A \） 、マトリックス2 \（B \） 。
- \（A_j B_i = \） （列の数は、ラインBの数Aに等しいです）
AとBのそれぞれの行要素は、一つの列、とを加算した値を乗算されます。
同じ行数、列の数が同じで新しい行列Bを得ました。その\（R ^ {M * N } \回^ R N * {O} = R ^ {M * O} \）
次の例を参照することができる：
\ [\} {\\ A＆B＆C D E＆F \\ \\ \ bmatrix終了{} * \ bmatrix開始{W} X＆\\ \\ Y＆Z開始bmatrix \端{bmatrix} = \開始 {bmatrix} * + B * W、Y＆* X + B * Z \\ C * + D * W Y＆C * X + D * Z \\ E * + F W * Y＆E * X + F * Z \\ \端{bmatrix} \]MATLABコード：
% Initialize a 3 by 2 matrix A = [1, 2; 3, 4;5, 6] % Initialize a 2 by 1 matrix B = [1; 2] % We expect a resulting matrix of (3 by 2)*(2 by 1) = (3 by 1) mult_AB = A*B % Make sure you understand why we got that resultA = 1 2 3 4 5 6 B = 1 2 mult_AB = 5 11 17
行列の乗算の一部のプロパティ
（一般的に）交換することはできません。
実数乗算は、交換後の2つの数字が同じセンスの結果である：
\ [3 + 5 + 3 = 5 \]
に垂直です。しかし、それは本当の行列もありますか？我々は、上記の行列乗算の外観を使用しようとした：
\ [\} {始まる1＆0.1＆0 \\ \\ \ bmatrix終了{} * \ {0}開始・0 2 0 bmatrix bmatrix \\ \\ \ {終了。 bmatrix} = \開始{bmatrix} 2＆0 \\ 0 0 \\ \端{bmatrix} \]\ [{bmatrix} 0 0 \\ 2＆0 \\ \端{bmatrixを}開始\ * \開始{bmatrix}が1＆1 \\ 0 0 \\ \端{bmatrix} = \開始{bmatrix} 0 ＆0 \\ 2＆2 \\ \端{bmatrix} \]
それを参照してください、結果は同じではありません。
しかし、これは一般的にそうである、交換することができる場合があります。
交換可能な特別な状況（単位行列）
ことを特徴としている我々は、マトリックス（単位行列）を呼び出しマトリックスは、あります：
行列でなければなりません\（nは\ n倍\）、$ I \スペースまたは\スペースI_表記 {N \ n倍} $を
矩阵对角线一定是1、其他部分一定是0
\ [\ mathop {\ {bmatrix} 1＆0 \\ 0＆1を開始\\ \端{bmatrix}} \ limits_ {2 \倍2} \スペース\空間\空間\空間\空間\空間\空間\空間\空間\空間\ mathop {\開始{bmatrix} 1＆0＆0 \\ 0＆1＆0 \\ 0 0 1 \\ \端{bmatrix }} \ limits_ {3 \回3} \空間\空間\空間\空間\空間\空間\空間\空間\空間\スペース\ {bmatrix} 1＆0 0 0 0 \\＆1始める\ {mathop ＆0＆0 \\ 0 0 1 0＆\\ 0 0 0 1 \\ \端{bmatrix}} \ limits_ {4 \回4} \空間\空間\空間\空間\空間\空間\空間\空間\空間\空間\ mathop {1＆＆＆＆＆\\＆1＆＆＆＆\\＆＆1 &&＆\\＆＆＆1＆＆\\＆＆} {bmatrixを開始\ ＆＆\ ddots＆\\＆＆＆＆＆1 \\ \端{bmatrix}} \ limits_ {N \回N} \]
そして、行列、行列を切り替えるどんなにを乗じ、結果は変わりません。
MATLABコード：
% Initialize random matrices A and B A = [1,2;4,5] B = [1,1;0,2] % Initialize a 2 by 2 identity matrix I = eye(2) % The above notation is the same as I = [1,0;0,1] % What happens when we multiply I*A ? IA = I*A % How about A*I ? AI = A*I % Compute A*B AB = A*B % Is it equal to B*A? BA = B*A % Note that IA = AI but AB != BAA = 1 2 4 5 B = 1 1 0 2 I = Diagonal Matrix 1 0 0 1 IA = 1 2 4 5 AI = 1 2 4 5 AB = 1 5 4 14 BA = 5 7 8 10
逆行列（逆行列）
それに非常に精通逆数の概念。その数は、別の番号1を乗じたというように、我々はそれがデジタルの往復だと思います。
\ [3 \回（3 ^
{ - 1}）1 \\ 5 \回=（5 ^ { - 1}）= 1 \\ \] マトリックスのため、我々は、同じ概念を持っています。我々は、同じマトリックスと1位の実数は、それが発現されると考えているので：
\ [A（A ^ { - 1}）=（A ^ { - 1}）A = I \]
我々が呼ぶ\（A ^ {--1は} \）の逆行列です。
\ [\ Mathop {\ {始める bmatrix} 3＆4 \\ 2＆16を\\ \端を{bmatrix}} \ limits_A \ mathop {\ {bmatrix} 0.4＆-0.1 -0.05 \\＆0.075を開始\\ \端{bmatrix}} \ limits_ {A ^ { - 1}} = \ mathop {始める\ {bmatrix} 1＆0 \\ 0 1 \\ \端{bmatrix}} \ limits_ {AA ^ { - 1}} = I_ {2 \倍2} \
] 音符のいくつかの点：
- 行列の逆行列は正方である必要がありますがあります
- \（\ \開始{} 0 0 0 0 \\ \\ \ bmatrix {終了} bmatrix）いずれの場合にも、それは単位行列になるせることはできませんので、このような0行列は、全く逆行列ではありません。あなたはゼロの外観に逆正方行列の近似を持つことはできません。
- 我々は呼んませ逆行列ません特異行列または特異行列
逆行列
現在、マトリックスを有する：
\ [A = \ bmatrix開始{} 1＆2.3＆0 \\ \\＆5. 9＆\ bmatrix終了{} \。]
及びその反転行列である：
\ [A ^ T = \開始{bmatrix} 1＆3 \\ 2＆5 \\ 0 9 \\ \端{bmatrix} \]
この動作はその後シーケンスは一緒にスプライスされ、列ベクトルAに、同じ値の各行ベクトルを見ることができます。
\（A \）転置した後、\（A \）と\（A ^ T \）の各要素との対応関係である
\ [A ^ T_ {IJ} = A_ {JI} \]MATLABコード
% Initialize matrix A A = [1,2,0;0,5,6;7,0,9] % Transpose A A_trans = A' % Take the inverse of A A_inv = inv(A) % What is A^(-1)*A? A_invA = inv(A)*AA = 1 2 0 0 5 6 7 0 9 A_trans = 1 0 7 2 5 0 0 6 9 A_inv = 0.348837 -0.139535 0.093023 0.325581 0.069767 -0.046512 -0.271318 0.108527 0.038760 A_invA = 1.00000 -0.00000 0.00000 0.00000 1.00000 -0.00000 -0.00000 0.00000 1.00000