この授業では、方程式系・行列の解（可解性）をランクによって判断する方法、つまり拡張行列（拡張行列）の解をランクによって判断する方法を主に説明します。連立方程式を直接解くために必要な解は、行列の解です。
x.1 Ax=b に解があるかどうかの判定 (非等次一次方程式)
例として、3 つの制約と 4 つの自由量を持つ次の方程式系を考えてみましょう。
これを行列の形に変換しますが、係数[b1, b2, b3]のない行列を係数行列係数行列、係数を含む行列を(拡張行列)拡張行列と呼びます。
次に、(消去) 消去法を使用して拡張行列を単純化し、次の (行階層形式) ステップ行列を取得し、(ピボット列) メイン列を見つけます。観察を通じて、方程式系に解がある場合、3 番目の方程式の等号の左側は右側と等しくなければならない、つまり 0=b3-b2-b1 であることがわかります。
Ax=b という形式に解があるかどうかを判断するには、線形結合の知識を使用して、 b がAの列成分ベクトルの線形結合であるかどうかを判断します。
x.2 Ax=b を解く手順
解法ステップは 2 つのステップに分かれています。チュートリアルを例にとると、最初に Ax=b の (特定の解) 解を解きます。このステップでは、すべての自由変数を 0、つまり x2=x4 に設定する必要があります。 = 0、次に x1 と x2 を解きます。
そこで、次の特別な解決策が得られました。
2 番目のステップでは、Ax=0 の (特殊解) 一般解、つまりゼロ空間の (ヌル空間) 一般解を取得する必要があります。すべての一般解の線形結合と一意の解を追加します。 Ax = b のすべての解を取得するための特別な解の導出プロセスは次のとおりです。
Ax=0 のすべての解を解く方法は前のセクションで述べました。次のように、特殊解と一般解を追加して、Ax=b のすべての解を取得します。
最終的に得られる解空間は 4 次元のベクトル空間として簡単に見ることができ、解空間を 4 次元で描きます。特殊解は 4 次元空間の点であり、一般解は 4 次元空間の平面であることが容易にわかります。私たちの解空間は次のように描画されます。 (部分空間) 厳密に定義したベクトル部分空間。
x.3 Ax=b の解を (ランク) ランクで判定する
次に重要な点ですが、mxn、ランク r のような形状の拡張行列 [A|b] の場合、対応する Ax=b の解をどのように判断するのでしょうか。
まず、r<=m および r<=n であることを知る必要があります。フルランク行列は r=n の行列を指し、空き列の数は nr です。
次のように結論付けます。R は (pref) 最も単純な行列に値します。3 番目と 4 番目のケースでは、メイン列と空き列が必ずしも誰が前にあるかは限らず、行だけが前にあるため、I と F はインターレースされます。前提としては交互に出現する可能性があります。
