序文
「線形代数(3) 線形方程式とベクトル空間」 線形方程式を解くことで線形空間を理解します。この章では別の角度から見ていきます
空間とは何ですか
平面デカルト座標系は最も一般的な 2 次元空間であり、その
空間は無限に多くの座標点で構成され、
各座標点はベクトルです。
- 逆に、「2 次元空間は無数の 2 次元ベクトルで構成されている」とも言えます。
- 同様に、3D 空間では、各 3D 座標点は 3D ベクトルです。
- 同じ理由です: 3D 空間には無限に多くの 3D ベクトルが存在する、または 3D 空間は無限に多くの 3D ベクトルで構成されています
空間内のすべてのベクトルはe 1 ⃗ , e 2 ⃗ , . . . , en ⃗ \vec{e_{1}},\vec{e_{2}},...,\vec{e_ { として表すことができます。 n}}e1、e2、... 、eんa ⃗ \vec{a}で示されるベクトルがある場合の、 の線形結合ある
a ⃗ = k 1 ⋅ e 1 ⃗ + k 2 ⋅ e 2 ⃗ + . . . + kn ⋅ en ⃗ ， k 1 , k 2 , . . . , kn は解けます\vec{a}=k_{1 } ·\vec{e_{1}}+k_{2}·\vec{e_{2}}+...+k_{n}·\vec{e_{n}}, k_{1},k_{ 2 },...,k_{n} には解決策がありますある=k1⋅e1+k2⋅e2+...+kん⋅eん、k1、k2、... 、kん
これらのベクトルe 1 ⃗ , e 2 ⃗ , . . . , en ⃗ \vec{e_{1}},\vec{e_{2}},...,\vec{e_{ n}} であると言われますe1、e2、... 、eんこの宇宙基地のために
線形空間の定義と性質
ベクトル加算
[ x 1 y 1 ] + [ x 2 y 2 ] = [ x 1 + x 2 y 1 + y 2 ] = [ 2 + 3 4 + 1 ] \begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} x_2 \\ y_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 + x_2 \\ y_1+ y_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 + 3 \\ 4+ 1 \end{bmatrix }[バツ1y1]+[バツ2y2]=[バツ1+バツ2y1+y2]=[2+34+1]
数値とベクトルの乗算
[ xy ] ∗ 2 = [ 2 x 2 y ] \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} * 2 = \begin{bmatrix} 2x \\ 2y \end{bmatrix}[バツはい]∗2=[2倍_2年]
寸法、座標、基準
ここで線形独立性の概念が登場します。ここでの線形独立性の概念はベクトル空間での線形独立性と似ていますが、ベクトルの範囲がより広くなります。
- n次元線形空間Vの基底は一意ではありません。V 内の任意の n 個の線形独立ベクトルは V の基底となります
- ベクトルa ⃗ \vec{a}ある的坐标 ( a 1 , a 2 , . . . a n ) (a_1,a_2,...a_n) ( _1、ある2、... _ん)在(ε 1 , ε 2 , . . ε n ) (\varepsilon_1,\varepsilon_2,...\varepsilon_n)( e1、e2、...えっん)に基づいており、一意かつ明確です
線形空間の次元と基底を決定する方法
ユークリッド空間
ユークリッド空間は空間の一種であり、特別なコレクションです。ユークリッド集合の要素: 実数の順序付きタプル
例: (2,3)(2,4)(3,4)(3,5) は、順序付けされた実数の 2 タプルです。
- 順序の意味: (2,3) と (3,2) などは 2 つの異なる要素です
- つまり、各要素の実数は連続しています。
- 実数とは、各要素の数値が ∈ R であることを意味します。
- タプルとは、各要素が複数の順序付けられた数値で構成されることを意味します。
- 例: 2 つの数値形式 = 2 タプル、n つの数値形式 = n タプル
ユークリッド集合 = 実数の順序タプル = n 次元座標点の集合
したがって、ユークリッド空間は、小さいものから大きいものまで使用する空間です。
ユークリッド空間は空間の 8 定理に準拠します
亜空間
部分空間は空間全体の一部です。しかし、それは空間でもあり、ベクトル空間の定義を満たさなければなりません。
部分空間の交差
部分空間の和
部分空間のV 1 、V 2 V_1、V_2V1、V2の結合は単純な要素の追加ではないため、「部分空間の結合は部分空間に属しません」という結果になります。
したがって、部分空間の合計を定義します
部分空間の直接和
部分空間の直接和は特殊な和です。この基礎では、各部分空間が互いに独立していることが必要です。
直線的な空間全体を大きなケーキとみなすことができます。
- ストレートと分解は、ケーキを小さな断片にカットすることであり、ケーキの各小さな断片は部分空間であり、すべての小さなケーキの間に交差はなく、それらはケーキ全体に組み立てることができます。
- 部分空間の合計は、ケーキを分割するときにケーキが適切にカットされなかったため、小さなケーキではケーキ全体を形成できません (部分空間間の交差点が空ではありません)。
内積空間
前回のコンテンツでは、線形空間におけるベクトル、行列、線形変換を抽象的に紹介しました。しかし、幾何学では、ベクトルにはベクトルの法、ベクトルの内積演算なども含まれます。ベクトルの法やベクトルの内積などの演算を導入するために、「内積の定義」を導入します。つまり、内積空間 = 線形空間 + 内積定義です。
ベクトル間の角度
cos θ = cos ( α − β ) = cos ( α ) cos ( β ) + sin ( α ) sin ( β ) = x 1 x 1 2 + y 1 2 ∗ x 2 x 2 2 + y 2 2 + y 1 x 1 2 + y 1 2 ∗ y 2 x 2 2 + y 2 2 \cos\theta = \cos(\alpha-\beta) =\cos(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\beta)=\cfrac{x_1}{\sqrt{\gdef\bar#1{#1^2} \bar{x_1} + \bar{y_1} }} * \ cfrac{x_2}{\sqrt{\gdef\bar#1{#1^2} \bar{x_2} + \bar{y_2} }} + \cfrac{y_1}{\sqrt{\gdef\bar#1{ #1^2} \bar{x_1} + \bar{y_1} }} * \cfrac{y_2}{\sqrt{\gdef\bar#1{#1^2} \bar{x_2} + \bar{y_2 } }}コス私=cos ( _−b )=cos ( α )cos ( b )+罪( α )罪( b )=バツ12+y12バツ1∗バツ22+y22バツ2+バツ12+y12y1∗バツ22+y22y2
cos θ = x 1 x 2 + y 1 y 2 x 1 2 + y 1 2 x 2 2 + y 2 2 = a ⃗ ∗ b ⃗ ∣ a ⃗ ∣ ∣ b ⃗ ∣ \cos\theta = \cfrac{x_1x_2 +y_1y_2}{\sqrt{\gdef\bar#1{#1^2} \bar{x_1} + \bar{y_1}}\sqrt{\gdef\bar#1{#1^2} \bar{x_2 } + \bar{y_2}}} = \cfrac{\vec{a} *\vec{b}}{|\vec{a} ||\vec{b}|}コス私=バツ12+y12バツ22+y22バツ1バツ2+y1y2=∣ある∣∣b∣ある∗b
上記の a, b ベクトルは 2 次元座標系でのみ存在しますが、座標系を n 次元に変換すると、つまりベクトル a は (x1, x2, x3...xn) となり、ベクトルはb は (y1, y2, y3...yn)
cos θ = ∑ i = 1 n ( xi ∗ yi ) ∑ i = 1 nxi 2 ∑ i = 1 nyi 2 = [ a , b ] [ a , a ] [ b , b ] \cos\theta = \cfrac{\ sum_{i=1}^n(x_i*y_i)}{\sqrt{\sum_{i=1}^n\gdef\bar#1{#1 ^2} \bar{x_i}}\sqrt{\sum_ {i=1}^n\gdef\bar#1{#1^2} \bar{y_i}}}=\cfrac{[a,b]} {\sqrt{[a,a]}\sqrt{[ b,b]}}コス私=∑i = 1んバツ私2∑i = 1んy私2∑i = 1ん( ×私は∗y私は)=[ 、_] _[ b 、b ][ 、_b ]
2 つのベクトル間の角度θ \thetaθ =90°、つまり 2 つのベクトルは直交します。
2 つのベクトルは互いに直交しており、これら 2 つのベクトルを組み合わせて 1 つのベクトルのセットを作ります。これを直交ベクトルセットと呼びます。
直交基底
∣ en ∣ = 1 |e_n|=1の場合∣ eん∣=1、それは正規直交基底
シュミットは直交基底を解きます
単純な射影法を通じて、基底の直交基底を見つけることができます。
既知の基底のセット { KaTeX 解析エラー: 'EOF' が期待され、位置 18 で '}' が取得されました: …lpha_1,\alpha_2}̲その直交基底を見つけます
- 令β 1 = α 1 \beta_1=\alpha_1b1=ある1
- β1 \beta_1を入手b1単位ベースはβ 1 [ β 1 , β 1 ] \cfrac{\beta_1}{\sqrt{[\beta_1,\beta_1]}} です。[ b1、b1]b1
- α 1 \alpha_1を計算しますある1ベータ1 \beta_1b1投影
- 投影長[ α 2 , β 1 ] [ α 2 , α 2 ] [ β 1 , β 1 ] ∗ [ α 2 , α 2 ] \cfrac{[\alpha_2,\beta_1]}{\sqrt{[ \ alpha_2,\alpha_2]}\sqrt{[\beta_1,\beta_1]}} *\sqrt{[\alpha_2,\alpha_2]}[ _2、ある2][ b1、b1][ _2、b1]∗[ _2、ある2]
- 投影は長さ * β 1 \beta_1です。b1[ α 2 , β 1 ] [ β 1 , β 1 ] ∗ β 1 に基づく単位 \cfrac{[\alpha_2,\beta_1]}{[\beta_1,\beta_1]} *\ beta_1[ b1、b1][ _2、b1]∗b1
- 正規直交基底はα 2 − [ α 2 , β 1 ] [ β 1 , β 1 ] ∗ β 1 \alpha_2 - \cfrac{[\alpha_2,\beta_1]}{[\beta_1,\beta_1]} *\ beta_1 です。ある2−[ b1、b1][ _2、b1]∗b1
- 正交基組織ダウンロード{ α 2 − [ α 2 , β 1 ] [ β 1 , β 1 ] ∗ β 1 , [ α 2 , β 1 ] [ β 1 , β 1 ] ∗ β 1 \alpha_2 - \cfrac{ [\alpha_2,\beta_1]}{[\beta_1,\beta_1]} *\beta_1,\cfrac{[\alpha_2,\beta_1]}{[\beta_1,\beta_1]} *\beta_1 ある2−[ b1、b1][ _2、b1]∗b1、[ b1、b1][ _2、b1]∗b1}
三次元なら
直交補数
定義: UUを許可するU是 V V Vの子空间，则U ⊥ = { v ∈ V : ∀ u ∈ U < v , u > = 0 } U^\perp =\{v\in V : \forall u\in U \left< v,u \right> =0 \}U⊥={ v∈V:∀ぅ∈U⟨v 、_あなた⟩=0 } UUと呼んでくださいUの直交補数。∀ u \forall u∀ u はセット内のすべての uを意味します
- U ⊥ U^\perpU⊥はVVですVの部分空間
- V ⊥ = { 0 } V^\perp=\{0\}V⊥={ 0 }および{ 0 } ⊥ = V \{0\}^\perp=V{ 0 }⊥=V
- U ⊥ ∩ U = { 0 } U^\perp \cap U = \{0\}U⊥∩U={0} ; _ _
- 如果 U , W U,W う、WはVVですVの部分集合U ⊆ WU\subbe WU⊆W，则W ⊥ ⊆ U ⊥ W^\perp \sub U^\perpW⊥⊆U⊥
定理: 有限次元部分空間の直交分解: V = U ⊕ U ⊥ V = U \oplus U^\perpV=U⊕U⊥
- ( U ⊥ ) ⊥ = U (U^\perp)^\perp=U( U⊥ )⊥=U
- 薄暗い V = 薄暗い U + 薄暗い U ⊥ \dim V = \dim U + \dim U^\perp薄暗いV=薄暗いU+薄暗いU⊥
直交補数の基底を解くにはどうすればよいでしょうか?
- dim V = 3 、 dim U = 2 で基底関数セットは [ { 1 , 0 , 0 } , { 0 , 1 , 0 } ] dim V = 3 , dim U = 2 で基底関数セットは [\{1] であるとします。,0 ,0\},\{0,1,0\}]dimV _=3 、ディムユー_ _=2であり、基底関数セットは[{ 1 ,0 、0 } 、{ 0 ,1 、0 }]
- 行列の取得A = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 0 ] A=\begin{bmatrix} 1 &0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&0 \end{bmatrix}あ= 100010000
- 假设 U ⊥ U^\perp U⊥の基組x ⃗ = [ xyz ] \vec{x}=\begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix}バツ= バツyz
- 得 A x = 0 Ax=0 あ×=同次方程式が0 個あり、一般解は {0,0,1} です。
直交補数の基礎は方程式系の解、解の数 = dim V - R(A) です。
主な参考文献
「ユークリッド空間はベクトル空間である」
「生成空間とは何か」
「部分空間の積と和」
「3.10 部分空間の演算」
「直交基底と正規直交基底」
「シュミット（シュミット）直交化の考え方」直交補体
（直交補体） ）」