ベクトル積内
これは、基本的には高校の数学の教科書の中でコンセプトである、二つのベクトルの内積が、私たちは式の復習を直接見、非常に簡単です：
\ [X \ CDOT Y = \ sum_ {i = 1} ^ N X_I * Y_I \]
XとYがN次元のベクトルである場合、二つのベクトルは、2つのベクトルの内積で提供することができることは同じ寸法です。上記の式からわかるように、2つのベクトルの内積は、各構成および寸法に対応する2つのベクトルの積に等しいです。
区別を行う乗算注文と通常の乗算と行列は、我々は通常、2つのベクトルの積として書かれた：\（[X、Y]のTy = X ^ \） 。
ベクトルのために非常に重要な特性があり、我々はユークリッド式でその長さを計算することができます。さらに、我々は、ベクトルとベクトルのベクトル長との間の角度を使用することができ、以下のように、内積を表します。
\ [[X、Y] = | X | \ CDOT |及び| \ COS \シータ\]
前記\（\シータ\）は、それは非常に直感的であり、ベクトルxとy、および空間における3次元ベクトル間の角度です。高次元のベクトルの場合、その物理的な意味を想像することは困難です。しかし、いや、我々はまだ間のベクトルがあると考えることができ、一般化ハイパー角度内で。機械学習の分野では、我々は通常反映するために、この角度を使用するベクトル間の類似度を。より同様の2つのベクターは、次いで、それらの間の角度は大きくなければならない余弦COSに対応し、低いようであるべきです。したがって、我々はそれらの間の類似度を反映するために、2つのベクトル間のコサインを使用することができます。起源の余弦を計算します。
直交ベクトル
上記式からわかるように、2つのベクトルのベクトル内積をベクトル間の角度を乗じた長さに等しいです。非ゼロベクトルの場合、長さはゼロより大きくなければなりません。したがって、2つのベクトルの内積の大きさは、ベクトル間の角度に完全に依存している\（\シータ\） 。
場合\は（\シータ\） 90未満であり°、次に\（\ COS \シータ> 0 \） 、その後、内積が正です。場合は\（\シータ\）が 90以上である°、その後、コサインは負です。我々は角度のコサインによって決まる正または負の値にすることができので、急性角または鈍角です。-今角度は特殊なケースと不可分当然、来垂直。
2つのベクトルの二次元平面が90°の角度である場合、それは二つの垂直ベクトルことは明らかです。-同じことが、我々は、一般的に垂直言いませんが、単語変化しますが、高次元空間で真である直交します。二つの非ゼロベクトルの内積は、2つの直交ベクトルを示し、0です。
直交ベクトル
直交ベクトルを考え出すした後、直交ベクトルもクリア。直交ベクトルセットのグループを指すは、各グループと非ゼロベクトルに直交しています。
n次元のベクトル場合：\（A_1、A_2、\ cdots、A_R \）がそれぞれ直交している、それらは線形独立でなければなりません。すなわち、係数のセットがゼロでないで存在していない（\ラムダ\）\、その結果：
\ [\ lambda_1a_1 + \ lambda_2a_2 + \ cdots + \ lambda_ra_r = 0 \]
これは、ボリューム内のベクトルがゼロではないので、私たちは式の両側にベクター上だけで乗るに必要な、我々が取ると仮定し、証明するのは簡単です\（A_1 \を）。それはお互いのベクトルに直交しているので、他の項目はすべて0です。あなたが式を設定したい場合は、それがなければなりません。
\ [\ Lambda_1a_1 Ta_1 ^ = 0 \]
以来（A_1 \）\ゼロではない、そして\（^ A_1 Ta_1 \）は、必ずしも式が成り立つにするために、0ではない、唯一の\（\ lambda_1 \）は 0です。
正規直交基底
私たちのコンセプトと直交ベクトルの概念に基づく融合、ベクトルならば\（E_1、E_2、\ cdots 、E_Rは\） 基底ベクトル空間Vです。それらの中ならば、互いに直交する、その後、彼らは正規直交基底のセットと呼ばれています。
ベクトルaのために、我々は簡単に正規直交基底た各次元の座標を得ることができます。
\ [\ = Lambda_i e_i「のTa = [、e_i] \]
すなわちベクトルa、特定のグループの下の仕様を直交座標寸法で、等しいこと、および直交基底ベクトル内積の寸法。
我々はすでにベクトル空間Vがベースのセットであることがわかっている場合は\（A_1、A_2、\ cdots、A_R \） 、私たちはどのように正規直交基底Vそれを頼みますか？
ここで呼ばれるアルゴリズム、使用するシュミットアルゴリズムを。このアルゴリズムでは、我々は、基底ベクトル空間のセットを通じた直交基底を見つけることができます。
このアルゴリズムは、私たちが直接その式を書くことができ、非常に簡単です：
\ [\開始{整列} B_1＆= A_1 \\ B_2＆= A_2 - \ FRAC {[B_1、A_2]} {[B_1、B_1]} B_1 \\ \ cdots \\ B_R＆= A_R - \ FRAC {[ B_1、A_R]} {[B_1、B_1]} b_1- \ FRAC {[B_2、A_R]} {[B_2、B_2]} B_2 - \ cdots - \ FRAC {[B_ {R-1}、A_R]} { 【B_ {R-1}、B_ {R-1}]} B_ {R-1} \端{整列} \]
私達はちょうどグループうちの2つの直交するベクトルbの間、私たちは知っている、2つのBのベクトル乗算を取ります。そこで、私たちはユニットのBベクトルのセットを見て、それが対応する正規直交基底を求めることができます。
すなわち：
\ [E_1 = \ FRAC {1} {|| B_1 ||} B_1、\クワッドE_2 = \ FRAC {1} {|| B_2 ||} B_2 \クワッド\ cdots \クワッドE_R = \ FRAC {1} {| | B_R ||} B_R \]
このアルゴリズムは難しいですが、非常に重要ではありませんが。いくつかの機械学習の分野では次元削減アルゴリズムを、その多くは、シュミット直交化法に関連しています。
直交行列
我々は時間に行列を導入する前に、一度は言っても、我々は特定の構造ベクトルグループとして行列を置くことができます。同様に、我々は、この行列が呼ばれ、マトリックスとして正規直交基底ベクトルのセットを置くことができ、直交行列。
これは、次のプロパティがあります。
\ [A = TA「I \]
Iは単位行列である場合、それは単位列ベクトルであり、行列Aの各列はそれぞれ直交していることが必要十分条件です。
最後に、我々は、直交行列の性質を見てください。その主なプロパティが3以下のとおりです。
Aが直交行列である場合、\（A ^ { - } 1つの= A ^ T \。） 、また、直交行列であり、\（| A | = \ PM 1 \。） 。
A及びBは、直交行列であり、そしてそれらは同じオーダーである場合、ABはまた、直交行列です。
Aは、変換後の不変の決定因子直交行列、ベクトルyである場合。
これらの3つのプロパティは、私たちは自然にほぼ直交行列を直接推定し、または非常に直感的、そして私たちの直感と一致していることができている、非常に単純です。実際には、それが導出される方法のアルゴリズムエンジニアのために、これらの概念の意味を理解することがより重要であり、これが最も重要なことであるにリンクされフィーチャーアルゴリズムモデルで再生されます、ポイントではありません。
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