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行列方程式には解判定定理がある
一次方程式の解の判定
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連立一次方程式A x = b A\bold{x}=\bold{b}あ×=bが解を持つは、その係数行列 A と拡張行列( A , b ) (A,\bold{b})( A 、b )同じランクR ( A ) = R ( A , b ) R(A)=R(A,\bold{b})R ( A )=R ( A 、b ) ,记r = R ( A ) = R ( A , b ) r=R(A)=R(A,\bold{b})r=R ( A )=R ( A 、b ) :
- r = nr=nの場合r=nには一意の解を持つ連立方程式があります
- 若r < n r<{n}r<n 個の方程式には複数の解があります
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非一次一次方程式の場合、R ( A )、R ( A 、 b ) R(A)、R(A、\bold{b}) を計算する必要があります。R ( A ) 、R ( A 、b )
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同次一次方程式の場合、R ( A ) R(A)を計算するだけで済みます。R ( A )
専門分野: 同次一次方程式の解の判断
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これは解を持つ線形方程式系の特殊なケースであり、定理はさらに単純化できます。
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等次一次方程式系A x = 0 A\bold{x}=\bold{0}あ×=同次方程式が0の場合は、 b \bold{b}として理解できます。bの要素はすべて0です
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A x = 0 A\bold{x}=\bold{0} であることは簡単にわかります。あ×=常に0 R ( A ) = R ( A ‾ ) = r R(A)=R(\overline{A})=rR ( A )=R (あ)=rなので、一次一次方程式系には常に解があります。
- 係数行列AAを計算するだけで済みます。AのランクR ( A ) R(A)R ( A )でrrを取得しますr
- r = nr=nの場合r=nの場合、連立方程式には一意の解があり、それはゼロ解に
- 若r < n r< nr<n個の方程式系にはゼロ以外の解があります
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同次線形方程式には解決定定理があります:同次線形方程式A x = 0 A\bold{x}=\bold{0}あ×=0が解を持つための必要十分条件は、R ( A ) ⩽ n R(A)\leqslant{n}R ( A )⩽n ;
- ゼロ解 (一意解) の必要十分条件はR ( A ) = n R(A)=nです。R ( A )=n
- 非ゼロ解 (多重解) の必要十分条件はR ( A ) < n R(A) < nです。R ( A )<n ;
一般化: 行列方程式AX = B AX=B× _=Bは解決策を持っています
- ここのBBBは定数エントリの行列 (係数行列の拡張行列ではなくなります)
- 定理: 行列方程式AX = B AX=B× _=Bが解を持つための必要十分条件は、R ( A ) = R ( A , B ) R(A)=R(A,B)R ( A )=R ( A 、B ）
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ここに注意してくださいX 、BX、B× 、Bは必ずしもベクトルである必要はなく、複数の行と列を含む行列である可能性があります。
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同済回線コード v6@p76@定理 6 を参照してください。
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証明する
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设 A , X , B A,X,B あ、× 、Bはそれぞれm × nm\times{n}メートル×n ,n × ln\times{l}n×l ,m × lm\times{l}メートル×lの行列
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X と B を列ごとにブロックします。
- XXX =( x 1 , x 2 , ⋯ xl ) (\bold{x}_1,\bold{x}_2,\cdots \bold{x}_l)( ×1、バツ2、⋯バツ私）、
- BBB =( b 1 , b 2 , ⋯ bl ) (\bold{b}_1,\bold{b}_2,\cdots \bold{b}_l)( b1、b2、⋯b私)
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行列方程式AX = B AX=B× _=B はllと同等ですlベクトル方程式(連立一次方程式)
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AX = A ( x 1 , x 2 , ⋯ xl ) AX=A(\bold{x}_1,\bold{x}_2,\cdots \bold{x}_l)× _=あ( ×1、バツ2、⋯バツ私) =( A x 1 , A x 2 , ⋯ A xl ) (A\bold{x}_1,A\bold{x}_2,\cdots A\bold{x}_l)( Ax _1、あ×2、⋯あ×私)
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全てのAX=B AX=B× _=B等以下( A x 1 , A x 2 , ⋯ A xl ) (A\bold{x}_1,A\bold{x}_2,\cdots A\bold{x}_l)( Ax _1、あ×2、⋯あ×私) =( b 1 , b 2 , ⋯ bl ) (\bold{b}_1,\bold{b}_2,\cdots \bold{b}_l)( b1、b2、⋯b私)
- また等价からA xi = bi ( i = 1 , 2 , ⋯ , l ) A\bold{x}_i=\bold{b}_i(i=1,2,\cdots,l)あ×私は=b私は(私は=1 、2 、⋯、l )合計lll線形方程式
- これらの線形方程式に共通するのは、同じ係数行列AAです。A、つまりlll線形方程式と元の行列方程式係数は等しい。この結論は非常に重要である
- 位置番号行列と定数項行列は比較的独立しています
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设R ( A ) = r R(A)=rR ( A )=r,且 A A Aの行階層は A ~ \widetilde{A}ですあ ,则 A ~ \widetilde{A} あ ありますr非ゼロ行、およびA ~ \widetilde{A}あ m − r後mrメートル−すべてゼロのr行
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( A 、 B ) (A、B)( A 、B ) =( A , b 1 , b 2 , ⋯ bl ) (A,\bold{b}_1,\bold{b}_2,\cdots \bold{b}_l)( A 、b1、b2、⋯b私) 〜 r \overset{r}{\sim}〜r ( A ~ , b 1 ~ , ⋯ , bl ~ ) {(\widetilde{A},\widetilde{\bold{b}_1},\cdots,\widetilde{\bold{b}_l})}(あ 、b1 、⋯、b私 )
- ここで、A ~ \widetilde{A}あ 是 A A Aの行階層形式行列
- そしてベクトルb 1 ~ , ⋯ , bl ~ \widetilde{\bold{b}_1},\cdots,\widetilde{\bold{b}_l}b1 、⋯、b私 是b 1 , b 2 , ⋯ bl \bold{b}_1,\bold{b}_2,\cdots \bold{b}_lb1、b2、⋯b私与A 〜 r A ~ A\overset{r}{\sim}\widetilde{A}あ〜rあ 同じ行変換を実行した結果、つまりbi ~ \widetilde{\bold{b}_i}b私は 行階層行列を表しません
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iiと同等になりますi線形方程式の拡張行列の基本行変換は、行階層行列です:( A , bi ) (A,\bold{b}_i)( A 、b私は) 〜 r \overset{r}{\sim}〜r ( A ~ , bi ~ ) {(\widetilde{A},\widetilde{\bold{b}_i})}(あ 、b私は ) ,( i = 1 , 2 , ⋯ , l ) (i=1,2,\cdots,l)(私は=1 、2 、⋯、l )
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AX=B AX=B× _=B有解⇔ \Leftrightarrow⇔ A xi = bi {A\bold{x}_i=\bold{b}_i}あ×私は=b私は ( i = 1 , 2 , ⋯ , l ) (i=1,2,\cdots,l)(私は=1 、2 、⋯、l )解決策がある
- ⇔ \Leftrightarrow⇔ R ( A , bi ) {R(A,\bold{b}_i)}R ( A 、b私は) =R ( A ) = r R(A)=rR ( A )=r ,( i = 1 , 2 , ⋯ , l ) (i=1,2,\cdots,l)(私は=1 、2 、⋯、l )
- ⇔ \Leftrightarrow⇔ ビ ~ {\widetilde{\bold{b}_i}}b私は
m − r後mrメートル−r成分 (単位) はすべて 0( i = 1 , 2 , ⋯ , l ) (i=1,2,\cdots,l)(私は=1 、2 、⋯、l )
- なぜなら、m − r mrの後であれば、メートル−r要素にゼロ以外の要素が含まれているため、R ( A , bi ) > R ( A ) R(A,\bold{b}_i)>R(A) がR ( A 、b私は)>R ( A ) ,导致A xi = bi {A\bold{x}_i=\bold{b}_i}あ×私は=b私は解決策なし
- そしてその以前のRRr要素の値は R ( A , bi ) {R(A,\bold{b}_i)} には影響しません。R ( A 、b私は) =R ( A ) R(A)R ( A )の確立は気にしません
- ⇔ \Leftrightarrow⇔四角阵( b 1 ~ , ⋯ , bl ~ ) (\widetilde{\bold{b}_1},\cdots,\widetilde{\bold{b}_l})(b1 、⋯、b私 ) m − r mrの後メートル−R行はすべて0です。
- ⇔ \Leftrightarrow⇔行階層行列D ~ \widetilde{D}D = ( A ~ , b 1 ~ , ⋯ , bl ~ ) (\widetilde{A},\widetilde{\bold{b}_1},\cdots,\widetilde{\bold{b}_l})(あ 、b1 、⋯、b私 ) m − r mrの後メートル−Rラインはすべて0です
- ⇔ \Leftrightarrow⇔ R ( D ~ ) ⩽ m − ( m − r ) = r R(\widetilde{D})\leqslant{m-(mr)=r}R (D )⩽メートル−( m−r )=r、そしてD ~ \widetilde{D}D A ~ \widetilde{A}が含まれていますあ したがって、R ( A ~ ) = r ⩽ R ( D ~ ) R(\widetilde{A})=r\leqslant{R(\widetilde{D})}R (あ )=r⩽R (D )
- ⇔ \Leftrightarrow⇔ R ( D ~ ) = r R(\widetilde{D})=rR (D )=r
- ⇔ R ( A , B ) = R ( A ) \Leftrightarrow{R(A,B)=R(A)}⇔R ( A 、B ）=R ( A )
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したがって、AX = B の場合、AX=B× _=B有解,则R ( A , B ) = R ( A ) R(A,B)=R(A)R ( A 、B ）=R ( A )
推論
- 若 A X = B AX=B × _=Bに解がある場合、R ( B ) ⩽ R ( A , B ) = R ( A ) R(B)\leqslant{R(A,B)}=R(A)R ( B )⩽R ( A 、B ）=R ( A )なので、R ( B ) ⩽ R ( A ) R(B)\leqslant{R(A)}R ( B )⩽R ( A )、つまり定数項行列のランクが係数行列のランクより小さい
- 对 A X = B AX=B × _=B の両側で同時に転置操作が行われ、XTAT = BTX^TA^T=B^TバツTA _T=BT、同様にR ( BT ) ⩽ R ( XT ) R(B^T)\leqslant R(X^T)R ( Bた）⩽R ( XT )、即R ( B ) ⩽ R ( X ) R(B)\leqslant{R(X)}R ( B )⩽R ( X )
- 综上, R ( B ) ⩽ min ( R ( A ) , R ( X ) ) R(B)\leqslant{\min(R(A),R(X))} R ( B )⩽min ( R ( A ) 、R ( X ))