不定方程式ソリューション
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拡張ユークリッドアルゴリズム：
：不定方程式の場合ソリューションを検討
= CによるAX +を
- ディオファントス方程式の可解性のための必要十分条件を証明することが（a、b）がある| C。
証明：（B）| C | Cによる= AX +、従って（B）ので、B、| A及び（B）。 - 次いで、式の両辺は、一つ（a、b）は、B互いに素ケースに変換される以外は同時にすることができます。
- 、B互いに素のケースを考えてみましょう。現在、解決策不定方程式：
= CによるAXの+を
我々が解決できると仮定：
BX +（MOD B）Y = Cが
そこである：
AXは1 +により1。 = C、
BX 2 +（A- [A / B] ）Y 2 = Cは
、係数Bを得ることができる程度に相当する：
Xを1 = Y 2、
Y 1 = X 2 - [A / B] Y 2
素数として、それは、最終的に= 1、Bを再帰する必要があります= 0、我々は非常に削除部門をやって、とされているので（A、B）= 1、この時間は戻って保持世代得ることができますX1、Y 1。
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二元論シンプル不定方程式：
フォーム：
= CによるAX +、≠0、B≠0
不定方程式は、2元線形不定方程式と呼ばれます。
- だけ（a、b）はもしあれば式は解決策を持っている|。Cとき
- 式（B）Aを与えるために、他の側に「B 」プライム、拡張ユークリッドアルゴリズムと、その特定の溶液の溶液をXとして表される。1、Y 1。
- そう元の方程式の一般解は、X = Xとして表すことができる1。 +（B /（A、B））T、Y = Y 1 - （A /（A、B））Tt∈Z。
証明：X1で、Y1の式が得られる：
A'x = C + B'y '
A'x 1。 + B'y 1 = C'
二相減算式：
A '（XX 1）= B'（ Y 1 -Y）
として（A 'B'）= 1、 XXので、1。 = b't、Y 1 -Y = a't、利用可能b't + X = X仕上げ1、Y = Y 1 - B " T.
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N - 不定方程式：
フォーム：
A 1 X 1 + 2 X 2 + +••••A N X N = Cは、I ≠0
式のnディオファントス方程式と呼びます。
- 十分な条件の可解式：（A 1、2、••••、N-）| C.
- 導入新しい変数T 1、T 2、••••、T N-2-：スプリットは不定方程式である
A 1 X 1 + A 2 X 2 = D 1、T 1 、D 1 =（A 1、2）
D 1。 T 1 + A 3 X 3 = D 2 T 2 D2 =（D 1、A 。3）
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DのN-- 3。 TのN-- 3 + A N-- 1。 X N-- 1 = D N - 2 T N - 2 D N - 2 =（DのN-- 3。 、N - 1）
D 、N - 2 T N - 2 + N- X N-C =
等号の左側にある一定の等しい権利を、バック十分変数tの最後の世代へ、次に方程式を解く、変数tとみなされ、このディオファントス方程式のn-1、tが考えられています。
単一線形合同式（S）溶液
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単純な線形合同式：
形式：
AXカスケードB（MOD mが）
：1つの方程式合同式、等価形態と呼ばれる
AX = B-マイ
ディオファントス方程式の溶液に溶液と二元的解決策。
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単純な線形合同式：
形式：
XカスケードB 1 （MODのM 1）
X Bは、カスケード2 （MODのM 2）
••••
XカスケードBのN- （M MOD N-は）
単純な線形方程式合同式と呼ばれています。二つの一般的な解決策があります。
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合併法（exCRT）
XカスケードB 1 （MODのM 1）
XカスケードB 2 （MODのM 2）
を得ることができる：
X = B 1 + M 1 Y 1 （*）
X = B2 + m2y2
2つの減算器得る：
M 1。 Yを1 - M 2 Y 2 = B 1 -b 2
式は変数への解決策を持っていない場合は、元の合同式は解を持ちません。ソリューション場合、特定の溶液であって、前記Z設けられている。1、同じXを持つ特定の方程式の解I 。1。
一般的な溶液Y1 = Z1 +（M2 /（ M1、M2））Tを、 式（*）には、得られた：
X = B 1 + Mを1 Z 1 +（M1M2 /（M 1、M 2））T（**）
と-Z公報溶液1。式（*）に与える：
Xを1 = B 1 + M 1 Z 1
式に（** ）で精製する：
X = X 1 +（M1M2 /（M 1、M 2））= X T 1 + LCM（M 1、M 2）は、T
：式は、と等価である
X Xカスケード1 （MOD LCM（M 1、M 2））
、このような組み合わせた合同式のように継続し、得られた溶液を元の合同式です。
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中国剰余定理（CRT）
Mの場合。1、M 2、••••、mはN- ペアワイズ品質の時間を、次いで、任意の整数Bのために。1、B 2、••••、B N- 関連合同式は解を有します。ソリューションとは、以下の方法で構成することができます。
= [PiはMを設定≦iがn個≦ MのIを、そしてMせてI = M / MのI、提供M I -1 MであるI MのMODでIは逆元の意味下。同じIの方程式の解：
X =Σ ≦I≦N BIM I -1 M I
証明：任意のmに対して、私は、MOD M Xた私は [シグマ= ≦I≦N BIM I -1 M I MOD M Iは = Bは、I（Mの定義によれば、M MOD MIは0であり、他方はミMjの以外でありますMIを含んで、MIモジュラスはまた0である値、及びM I -1 M I MODのM Iの値1）
オリジナルのx液合同方程式ことを示します。提供X 1及びX 2つの解決策は、元の合同式であり、そこである：
X 1。 -X- 2 カスケード0（M MOD I）
mとIは、互いに素Mそうである| X 1。 -X- 2、溶液間の平均差-MをK、[シグマよう≦I≦N BIM I -1 M私は、 KM = KM + [シグマXを構成し、続いてiは≦≦N BIM iが-1 M iが。
M Iないペアごとの質量は、ペアごとの品質に分割することができます。