序文

線形方程式の直接解には、ガウス消去法、ピボット消去法、平方根法、キャッチアップ法などを含む多くの方法があります。しかし、MATLAB では、「\」または「/」を直接使用して問題を解決できます。これら 2 つの方法には、過決定方程式に対する最小二乗法の使用、過小決定方程式に対する最小の誤差ノルムによる解の提供、三重対角行列方程式に対するキャッチアップ法の使用など、多くの適応アルゴリズムが含まれています。

1. 直接解法: 行列の除算

線形方程式を解くための $A*X=B$ MATLAB 呼び出し形式は次のとおりです。

x=A\B

この関数を呼び出すときは、行列 A、B の行数が同じである必要があります。行列 A が適切にスケーリングされていない場合、または行列 A が特異に近い場合、コードの実行時に MATLAB は警告メッセージを表示します。

行列 A は次の 3 つの状況に分類できます。

A がスカラーの場合、A\B は A.\B と同等です。

A が $n\回n$ 正方行列、B が n 行行列の場合、A\B は方程式 A*X=B の解になります。

A が $m\回n$ 行列、 $m\neq n$ B が m 行の行列の場合、A\B は方程式系 A*X=B の最小二乗解を返します。

例1

次の方程式を解きます。

ほどく：

MATLAB コードは次のとおりです。

clc;clear;
A=[0.4096 0.1234 0.3678 0.2943;0.2246 0.3872 0.4015 0.1129;
    0.3645 0.1920 0.3781 0.0643;0.1784 0.4002 0.2786 0.3927];
b=[0.4043;0.1150;0.4240;-0.2557];
x=A\b;
x' %将结果输出为行向量

実行結果:
ans =

0.332683779325239 -1.412140862756104 1.602847655449206 -0.500293786006566

例 2

A は次数 4 の魔方陣行列であり、線形方程式系 Ax=b を解きます。b の式は次のようになります。

$b=\begin{bmatrix}34\\34\\34\\34 \end{}$

備考: 魔方陣行列の定義:配列に同じ行と列があり、各行、列、対角線の合計が同じである場合、これらの配列は魔方陣行列になり、魔方陣行列とも呼ばれます。

ほどく：

MATLAB コードは次のとおりです。

clc;clear;
A=magic(4); %生成四阶的幻方矩阵
b=[34;34;34;34];
x=A\b;
x'

操作結果:

答え =

0.980392156862745 0.941176470588235 1.058823529411765 1.019607843137255
分析:

次数 4 の魔方陣行列は特異行列であり、特異行列も解くことができますが、MATLAB は次のような警告を生成します。

警告: 行列が特異値に近いか、スケーリングが正しくありません。結果は正確ではない可能性があります。RCOND = 4.625929e-18。

例 3

一次方程式系 Ax=b を解き、誤差がないか解析します。A、b行列は次のとおりです。

$A=\begin{bmatrix}1&2&0\\0&4&3 \end{}$ ， $b=\begin{bmatrix}8\\18 \end{}$

ほどく：

MATLAB コードは次のとおりです。

clc;clear;
A=[1 2 0;0 4 3];
b=[8;18];
x=A\b

E=norm(b-A*x) %求范数误差

操作結果:

x =

0
3.999999999999997
0.666666666666670

E =

7.160723346098895e-15

分析: この方程式は過小決定方程式であり、MATLAB は最小二乗法を使用してそれを解くため、誤差が生じます。

さらに、最後の例では、スパース行列を使用して単純な線形方程式系 Ax=B を解きます。

MATLAB コード:

clc;clear;
A=sparse([0 2 0 1 0;4 -1 -1 0 0;0 0 0 3 -6;-2 0 0 0 2;0 0 4 2 0]);%稀疏矩阵
B=sparse([8;-1;-18;8;20]); %稀疏矩阵
x=A\B

E1=norm(B-A*x) %范数误差

操作結果:

x =

(1,1) 1.000000000000000
(2,1) 2.000000000000000
(3,1) 3.000000000000000
(4,1) 4.000000000000001
(5,1) 5.000000000000001

E1 =

4.189529226675416e-15

2.直接解決：判断と解決

行列 A、B を次のように指定します。

解を形成する決定行列 C は次のとおりです。

$C=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}&b_{11}&b_{12}&\cdots&b_{1p}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n }&b_{21}&b_{22}&\cdots&b_{2p}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}&b_ {m1}&b_{m2}&\cdots&b_{mp} \end{}$

連立一次方程式には解があるという判断定理は、次の 3 つの場合に分けられます。

2.1 m=n およびランク(A)=ランク(C)=n

この場合、連立方程式には一意の解があります。 $x=A^{-1}B$

例 4

次の連立方程式を解きます。

$\begin{bmatrix}1&2&3&4\\ 4&3&2&1\\ 1&3&2&4\\ 4&1&3&2 \end{}X=\begin{bmatrix}5&1\\4&2\\3&3\\2&4 \end{}$

ほどく：

MATLAB コードは次のとおりです。

clc;clear;
A=[1 2 3 4;4 3 2 1;1 3 2 4;4 1 3 2];
B=[5 1;4 2;3 3;2 4];
C=[A B];

%判定前提条件
rank_A=rank(A)
rank_C=rank(C)

%求解
x1=inv(A)*B

%计算范数误差
E1=norm(A*x1-B)

%计算精确解
x2=inv(sym(A))*B

%计算范数误差
E2=norm(A*x2-B)

操作結果:

ランク_A =4
ランク_C = 4

x1 =

-1.800000000000000 2.399999999999999
1.866666666666666 -1.266666666666667
3.866666666666667 -3.266666666666667
-2.13333333333 3333 2.733333333333333

E1 =7.291088482824584e-15

x2 =
[ -9/5、12/5]
[ 28/15、-19/15]
[ 58/15、-49/15]
[ -32/15、41/15]

E2 =0

2.2 ランク(A)=ランク(C)=r<n

この場合、連立方程式には無限に多くの解があります。元の連立方程式は、次の形式で対応する同次方程式系の解に変換できます。

$\hat x=\alpha_1x_1+\alpha_2x_2+\ldots+\alpha_{nr}x_{nr},\quad \alpha_i,i=1,2,\cdots,nr$

このとき、 A 行列のゼロ化行列を取得する必要があり、MATLAB の形式は次のとおりです。

Z=null(A)

または、 A 行列のゼロ化行列の正準形式を見つけます。MATLAB 形式は次のとおりです。

Z=null(A,'r')

例5

次の連立方程式を解きます。

$\begin{bmatrix}1&2&3&4\\ 2&2&1&1\\ 2&4&6&8\\ 4&4&2&2 \end{}X=\begin{bmatrix}1\\3\\2\\6 \end{}$

ほどく：

MATLAB コードは次のとおりです。

clc;clear;
A=[1 2 3 4;2 2 1 1;2 4 6 8;4 4 2 2];
B=[1;3;2;6];
C=[A B];

%判断可解性
rank=[rank(A),rank(C)]

%求解出规范化的化零空间
Z=null(sym(A))

%求特解
x0=sym(pinv(A)*B)

%验证得出的解
a1=randn(1);
a2=rand(1); %a1和a2是不同分布的随机数
x1=a1*Z(:,1)+a2*Z(:,2)+x0;
E=norm(double(A*x1-B))

%将通解表示出来
syms a3 a4;
x2=a3*Z(:,1)+a4*Z(:,2)+x0

操作結果:

ランク = 2 2

分析: 解決策が存在し、複数の解決策があることを説明します。

Z =
[ 2, 3]
[ -5/2, -7/2]
[ 1, 0]
[ 0, 1]
分析: この結果は、次の方程式として解釈できます。

$\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4 \end{}=\begin{bmatrix}2&3\\-2.5&-3.5\\1&0\\0&1 \end{}\begin{bmatrix}x_3\ \x_4 \終了{}$

x0 =
125/131
96/131
-10/131
-39/131

E =0

分析: この方法で得られた結果にはエラーはありません

x2 =

2*a3 + 3*a4 + 125/131
96/131 - (7*a4)/2 - (5*a3)/2
a3 - 10/131
a4 - 39/131

分析: この結果は、一般式として次のように書くことができます。

$\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4 \end{}=a_3\begin{bmatrix}2\\-2.5\\1\\0 \end{}+a_4\begin{bmatrix}3\ \-3.5\\0\\1 \end{}+\begin{bmatrix}0.9542\\0.7328\\-0.0763\\-0.2977 \end{}$

2.3 $ランク(A)\leq ランク(C)$

現時点では、最小二乗法を解くためにムーア・ペンローズの一般化逆関数のみを使用できます。MATLAB の形式は次のとおりです。

x=pinv(A)*B

この方法では、誤差ノルム測定値の最小値を ||Ax-B|| にすることしかできず、元の代数方程式に完全に準拠することはできません。

3. 逆行列で一次方程式を解く

係数行列Ａを反転することにより、一次方程式系Ａｘ＝ｂを解くこともできる。残念ながら、この方法は以前のバックスラッシュ計算による方法よりも遅く、残差が比較的大きくなります。しかし実際には、利点もあります。サンプル問題を見てみましょう。

例6

8 次の魔方陣行列を使用して、MATLAB の 2 つの解法 x1=A\b と x2=pinv(A)*b の精度を比較します。

ほどく：

MATLAB コードは次のとおりです。

clc;clear;
A=magic(8);
A1=A(:,1:6); %行数全取，列数保留1~6列，具体原因见"分析"
rank_A1=rank(A1)
b=260*ones(8,1); %260是原A矩阵的幻数和

%使用反斜杠法求解
x1=A1\b
norm_x1=norm(x1)
E1=norm(A1*x1-b)

%使用pinv()函数求解
x2=pinv(A1)*b
norm_x2=norm(x2)
E2=norm(A1*x2-b)

操作結果:

ランク_A1 =3

警告: ランクが不足しています。ランク = 3、tol=1.882938e-13。
(A1行列は正方行列ではないため、行列のランクを計算する際に警告が表示されます。行列のランクに関する導入については、以下の記事を参照してください)

MATLAB に基づく行列プロパティ: 行列式、ランク、トレース、ノルム、特性多項式、行列多項式ブログ-CSDN ブログ

x1 =

2.999999999999998
4.000000000000000
0
0
1.000000000000002
0

ノルム_x1 = 5.099019513592784
E1 = 1.392373714442771e-13

x2 =

1.153846153846151
1.461538461538463
1.384615384615385
1.384615384615383
1.461538461538461
1.153846153846153

ノルム_x2 =3.281650616569467
E2 =4.019436694230464e-13

分析します:

(1) A 行列を A1 に変換します。列が 6 つしかない場合でも、方程式は一貫しており、依然として解が存在し、解はすべて 1 で構成されているわけではないからです。また、行列のランクが低いため、解の数は無限に存在します。

(2) ノルム誤差計算の結果によると、2 つの解法の精度は一致しています。

(3) 解 x1 の特徴は非ゼロ要素が 3 つだけであること、解 x2 の特徴はそのノルム(x2) が非常に小さいことです。

MATLAB に基づいて線形方程式を解く (完全なコードと例付き)

序文

1. 直接解法: 行列の除算

例1

例 2

例 3

2.直接解決：判断と解決

2.1 m=n およびランク(A)=ランク(C)=n

2.2 ランク(A)=ランク(C)=r<n

例5

2.3 $ランク(A)\leq ランク(C)$

3. 逆行列で一次方程式を解く

例6

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