このセクションの内容は、以前の代数的知識に関連して理解することができます。連立方程式の問題はベクトル系の問題
この部分の問題解決の完全なプロセスは次のとおりです。
- 解がある条件で解があるかどうかを判断する
- 解があれば一般解の構造を求めよ
- k 1 . . . ks k_1...k_sを解いて指定するk1... ks任意の定数
コンテンツのこの部分は、基本解システムと特殊解の 2 つの側面を含みます。ここで、特殊解は非同次線形方程式システムに関連しています。
同種の
同次一次方程式系の場合A x = 0 Ax=0A ×=0 , 行列A m × n A_{m×n}あm × nmmを意味しますm行の方程式とnnn未知数。xxxは_n成分の列行列
その一般解はk 1 ξ 1 + k 2 ξ 2 + . . . + ks ξ s k_1\xi_1+k_2\xi_2+...+k_s\xi_sk1バツ1+k2バツ2+...+ksバツs、ここでξ s \xi_sバツsはnnですn次元の列ベクトル、sss は自由度に依存します。
行列A m × n A_{m×n}あm × n進行中素線変換次に、ランクr ( A ) = r ≤ nr(A)=r\le nに縮小されますr ( A )=r≤n , rrの行列r は、独立した方程式 (制約とも呼ばれます) の数です。つまり、方程式はnnn次元のrrr次元、しかしまだ残っているs = n − rs=nrs=n−r次元は拘束できず、拘束できない次元は ss に引き伸ばされますs次元空間は解空間です。
※非同次方程式の場合A x = b Ax=bA ×=b η 1 \eta_1のいくつかの 2 つの解の1和 η 2 \eta_2 の2，作差η 1 − η 2 \eta_1-\eta_2の1−の2一様方程式系ですA x = 0 Ax=0A ×=0の解
A η 1 = 0 A\eta_1=0なのでアン_1=0和A η 2 = 0 A\eta_2=0アン_2=同様にA ( η 1 + η 2 ) = 2 b A(\eta_1+\eta_2)=2b となります。ア( h1+の2)=2b _
【例】以下の式の場合
{ x 1 + x 2 - 3 x 4 - x 5 = 0 x 1 - x 2 + 2 x 3 - x 4 = 0 4 x 1 - 2 x 2 + 6 x 3 + 3 x 4 - 4 x 5 = 0 2 x 1 + 4 x 2 − 2 x 3 + 4 x 4 − 7 x 5 = 0 \begin{cases} x_1+x_2-3x_4-x_5=0\\ x_1-x_2+2x_3-x_4=0\\ 4x_1- 2x_2+6x_3+3x_4-4x_5=0\\ 2x_1+4x_2-2x_3+4x_4-7x_5=0\\ \end{ケース}⎩
⎨
⎧バツ1+バツ2−3x _4−バツ5=0バツ1−バツ2+2x _3−バツ4=04x _1−2x _2+6x _3+3x _4−4x _5=02x _1+4x _2−2x _3+4x _4−7x _5=0
行列形式で記述でき、簡略化できます
A = ∣ 1 1 0 − 1 − 1 1 − 1 2 − 1 0 4 − 2 6 3 − 4 2 4 − 2 4 − 7 ∣ → 基本行変換は ∣ 1 1 0 − 3 − 1 0 − 2 2 に単純化されます。 2 1 0 0 0 3 − 1 0 0 0 0 0 ∣ A=\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 0 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 2 & -1 & 0 \ \ 4 & -2 & 6 & 3 & -4 \\ 2 & 4 & -2 & 4 & -7 \\ \end{matrix} \right| \xrightarrow {単純化された基本行変換} \left| \begin {matrix } 1 & 1 & 0 & -3 & -1 \\ 0 & -2 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ \ \ end{行列} \right|あ= な11421− 1− 24026− 2− 1− 134− 10− 4− 7 な基本的な行変換は次のように単純化されますな な10001− 2000200− 3230− 11− 10 な
エシュロン マトリックス ランクは 3 なので、恣意的に3 つの列を見つけて、ランク 3 のサブマトリックスを形成し、ここで 1、2、および 4 つの列を選択します。これらの列は、3 次元の解を一意に決定します (つまり、5 つの未知数のうち 3 つを決定します)。ただし、空間が 5 次元であるため (未知数の数は 5)、確認できない 2 つの次元がまだあります。それらは自由です。未知数。したがって、残りの 3 番目と 5 番目の列要素x 1 x_1を取得します。バツ1とx 3 x_3バツ3自由未知数としてx 3 = k 1 x_3=k_1とするバツ3=k1，x 5 = k 2 x_5=k_2バツ5=k2，则 A x = 0 Ax=0 A ×=0は次の式です。
∣ 1 1 0 − 3 − 1 0 − 2 2 2 1 0 0 0 3 − 1 0 0 0 0 ∣ ∣ x 1 x 2 k 1 x 4 k 2 ∣ = 0 \left| \begin{行列} 1 & 1 & 0 & -3 & -1 \\ 0 & -2 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{行列} \right| \左| \begin{matrix} x_1 \\ x_2\\ k_1\\ x_4\\ k_2 \end{matrix} \right|=0
な10001− 2000200− 3230− 11− 10
な
なバツ1バツ2k1バツ4k2な
な=0
質問の意味によると、構造はk 1 ξ 1 + k 2 ξ 2 k_1\xi_1+k_2\xi_2k1バツ1+k2バツ2すると、
ξ 1 = ( □ □ 1 ⋅ k 1 □ 0 ⋅ k 2 ) ξ 2 = ( □ □ 0 ⋅ k 1 □ 1 ⋅ k 2 ) \begin{matrix} \xi_1=(□\text { }□\text{ }1·k_1\text{ }□\text{ }0·k_2\text{ })\\ \xi_2=(□\text{ }□\text{ }0·k_1\text{ } □ \text{ }1·k_2\text{ }) \end{行列}バツ1=( □ □ 1 ⋅ k1 □ 0 ⋅ k2 )バツ2=( □ □ 0 ⋅ k1 □ 1 ⋅ k2 )
ここで□ □□は拘束された次元です (つまり、x 1 x_1バツ1、x 2 x_2バツ2、x 4 x_4バツ4）、主に3つと5つ、彼を見ないようにしましょう。基本的な分析の要件は線形独立であるため、これら 2 つの位置の一方は 0 で埋められ、もう一方は 1 で埋められます。最も単純な形式（上記のように）しかし、必ずしも計算が便利であるとは限らないため、最適ではない可能性があります。少なくとも、この質問では次を使用する方が便利です。
ξ 1 = ( □ □ 1 ⋅ k 1 □ 0 ⋅ k 2 ) ξ 2 = ( □ □ 0 ⋅ k 1 □ 3 ⋅ k 2 ) \begin{matrix} \xi_1=(□\text{ }□\text{ }1·k_1\text{ }□\text{ }0·k_2\text{ })\\ \xi_2=(□\text{ }□\text{ }0·k_1\text{ }□\text{ }3 ·k_2\text{ }) \end{行列}バツ1=( □ □ 1 ⋅ k1 □ 0 ⋅ k2 )バツ2=( □ □ 0 ⋅ k1 □ 3 ⋅ k2 )
次にx 1 x_1について解きますバツ1、x 2 x_2バツ2、x 4 x_4バツ4、つまり、k 1 k_1を使用しますk1とk 2 k_2k2x 1 x_1を意味しますバツ1、x 2 x_2バツ2、x 4 x_4バツ4. 次のように編成します
∣ x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 ∣ = ∣ − k 1 + 2 7 k 2 k 1 + 5 2 k 2 k 1 k 2 3 k 2 ∣ = k 1 ∣ − 1 1 1 0 0 ∣ + k 2 ∣ 2 7 5 2 0 1 3 ∣ \左| \begin{matrix} x_1 \\ x_2\\ x_3\\ x_4\\ x_5 \end{matrix} \right|=\left| \begin{行列} -k_1+\frac27k_2 \\ k_1+\frac52k_2\\ k_1\\ k_2\\ 3k_2 \end{行列} \right|=k_1\left| \begin{matrix} -1\\1\\1\\0\\0 \end{matrix} \right|+k_2\left| \begin{行列} \frac27\\ \frac52\\0\\1\\3 \end{行列} \right| なバツ1バツ2バツ3バツ4バツ5な な= な−k _1+72k2k1+25k2k1k23k _2な な=k1 な− 11100 な+k2 な7225013 な
ここで、k 1 k_1k1、k 2 k_2k2は任意の定数です
不均質
非同次線形方程式の解は、上記の同次方程式に似ていますが、解の構造はk 1 ξ 1 + k 2 ξ 2 + . . . + ks ξ s + η k_1\xi_1+k2\xi_2+ です。 . .+k_s\xi_s+\etak1バツ1+k 2 ξ2+...+ksバツs+η，其中 s = n − r ( A ) s=n-r(A) s=n−r ( A )，\etaη は特定の解
そして行列は拡張行列の形で書かれるべきです。つまり、方程式A x = b Ax=bA ×=b、処理される行列は[ A ∣ b ] [A|b][ A ∣ b ]