非線形システムの線形化、線形システムとその解形式
1. 一般的な線形化方法
一般に、非線形システムの線形化には、テイラー展開という数学的ツールが使用されます。特定の点を中心に拡張することにより、関数を多項式形式で記述することができます。関数f ( x ) f(x)f ( x )点x 0 x_0バツ0近傍テイラー展開の一般式は次のとおりです:
f ( x ) = ∑ k = 0 ∞ 1 k ! ( x − x 0 ) kf ( k ) ( x 0 ) (1) f(x) = \sum _{k =0 }^\infty \frac{1}{k!} \left( x - x_0 \right) ^kf^{(k)} \left( x_0 \right) \tag{1}f ( x )=k = 0∑∞き！1( ×−バツ0)kf( k )( ×0)( 1 )関数の線形化にテイラー展開を適用すると、線形化の最初の項目のみが取得され、後続のすべての高次の項目は高次の小さな量で表されます。このとき、式(1)は f ( x ) = f ( x 0 ) + ( x − x 0 ) f ' ( x 0 ) + o ( x − x 0 ) (2) f(x) と書けます。
) = f \left( x_0 \right) + \left( x - x_0 \right) f' \left( x_0 \right) + o \left( x - x_0 \right) \tag{2}f ( x )=f( ×0)+( ×−バツ0)f』( ×0)+ああ( ×−バツ0)( 2 )ここで、o ( x − x 0 ) o \left( x - x_0 \right)ああ( ×−バツ0)高次の少量の場合。
いわゆる線形化とは、元の関数を線形化して表現することを意味するため、上記の式は
f ( x ) ≈ f ( x 0 ) + ( x − x 0 ) f ' ( x 0 ) f としか表現できません。 (x ) \about f \left( x_0 \right) + \left( x - x_0 \right) f' \left( x_0 \right)f ( x )≈f( ×0)+( ×−バツ0)f』( ×0)明らかに、この表現では高次の少量が無視され、エラーが発生します。したがって、テイラー展開による線形化の過程においては、高次の微量はその過程における誤差とみなすことができるといえる。
2. 線形化システムとそのソリューション
システムを線形化すると、次の線形常微分方程式で表すことができます:
anx ( n ) + an − 1 x ( n − 1 ) + ⋯ + a 1 x ˙ + a 0 x = bmu ( n ) + bm − 1 u ( m − 1 ) + ⋯ + b 1 u ˙ + b 0 u (3) a_n x^{(n)} + a_{n-1} x^{(n-1)} + \cdots + a_1 \dot x + a_0 x = b_m u^{(n)} + b_{m-1} u^{(m-1)} + \cdots + b_1 \dot u + b_0 u \tag{3}あるんバツ( n )+あるn − 1バツ( n − 1 )+⋯+ある1バツ˙+ある0バツ=bメートルあなた( n )+bm − 1あなた( m − 1 )+⋯+b1あなた˙+b0あなた(3)其中 u u u はシステムの制御量、xxxはシステムの出力です。ここでの「線形」とは、システム内の各微分項が独立した項になること、つまり、x ˙ x ã \dot x \ddot xバツ˙バツこのタイプの項目。「定数」は定数係数、つまり係数ai、bj、a_i、b_jある私は、bj時間とともに変化しない定数です。
式(3)は典型的な線形常微分方程式であり、その解は一般解と特殊解の2つに分けられます。高度な数学の知識によれば、式 (3) の右辺を 0 に設定すると、一般的な解が得られます。
anx ( n ) + an − 1 x ( n − 1 ) + ⋯ + a 1 x ˙ + a 0 x = 0 (3–1) a_n x^{(n)} + a_{n-1} x^{(n-1)} + \cdots + a_1 \dot x + a_0 x = 0 \tag{3- -1}あるんバツ( n )+あるn − 1バツ( n − 1 )+⋯+ある1バツ˙+ある0バツ=0( 3-1 )特殊解については、高度な数学で言及される固定解のセットがあり、ここでは詳しく説明しません。
式 (3-1) を解く場合、一般に 2 つの方法が挙げられます。
(1)高度な数学の解法は、式(3-1) の導出順序に従って特性方程式を書き出すことです。 :
anpn + an − 1 pn − 1 + ⋯ + a 1 p + a 0 = 0 (3–2) a_n p^n + a_{n-1} p^{n-1} + \cdots + a_1 p + a_0 = 0 \タグ{3--2}あるんpn+あるn − 1pn − 1+⋯+ある1p+ある0=0( 3–2 )方程式はnnn次の方程式なので、nnn个解pi ( i = 1 , 2 , ⋯ , n ) p_i (i = 1, 2, \cdots, n)p私は(私は=1 、2 、⋯、n )。取得したnnn 個の解の場合、一般解を直接記述します。
x ( t ) = ∑ i = 1 n C iepit (3–2–1) x(t) = \sum _{i=1}^n C_i e^{p_i t } \tag{3--2--1}x ( t )=i = 1∑んC私はep私はt(3–2–1)其中 C i C_i C私はは定数であり、初期条件によって決まります。
(2)ラプラス変換解。自動制御の基本理論を学習した後、式 (3–1) でラプラス変換を実行できます。
ansn X ( s ) + an − 1 sn − 1 X ( s ) + ⋯ + a 1 s X ( s ) + a 0 X ( s ) = 0 ⟹ ( ansn + an − 1 sn − 1 + ⋯ + a 1 s + a 0 ) X ( s ) = 0 (3–3) a_n s^n X({\rm s}) + a_ {n-1} s^{n-1} X( {\rm s}) + \cdots + a_1 s X({\rm s}) + a_0 X({\rm s}) = 0 \\ \Longrightarrow \left( a_n s^n + a_{n-1} s^{n-1} + \cdots + a_1 s + a_0 \right) X({\rm s}) = 0 \tag{3-- 3}あるんsn X(s)+あるn − 1sn − 1 X(s)+⋯+ある1s X ( s )+ある0X (秒)=0⟹( _んsn+あるn − 1sn − 1+⋯+ある1s+ある0)X (秒)=0( 3–3 )式 (3–3) を有効にするには、明らかに
ansn + an − 1 sn − 1 + ⋯ + a 1 s + a 0 ≡ 0 (3–4) a_n s^n + a_{n- 1 } s^{n-1} + \cdots + a_1 s + a_0 \equiv 0 \tag{3--4}あるんsn+あるn − 1sn − 1+⋯+ある1s+ある0≡0( 3-4 )式 (3-4) と式 (3-2) は同じ形であることが容易にわかります。したがって、一般解 (3-2-1) も得られます。
上記 2 つの方法は、一般解、つまり式 (3) の右辺が 0 であり、式 (3-1) の状況を解きます。式 (3) と式 (3-1) を比較すると、(3) の等号の右側を 0 に設定すると (3-1) が得られる、つまり制御が存在しないことがわかります。システム内の変数uuuのときに取得されます。式 (3-1) にはuu が項目uなので、システムには外部の影響はなく、システム全体が完全に自発的かつ自律的に動きます。したがって、(3-1) から得られる一般解 (3-2-1) で表される動的過程は「自由運動」とも呼ばれます。
「自由な動き」とは、外部からの作用がまったくないことを意味するのではなく、t = 0 で t=0であることに注意してください。t=時間0で、システムに外部アクションを適用した後、それを直ちに削除します。このアクションにより、システムは元の静的状態から動的プロセスに変化します。t > 0 t >0のときt>0プロセスです、うーんu はもはやいかなる形でもシステムに作用しないため、t = 0 t=0t=0瞬間はうーu励起を除いて、残りの時間は自発的に動いています。明らかに、t = 0 t=0t=時間0に適用されましたuはパルス信号です。
これに対応して、式 (3–1–1) で得られる各成分C iepit C_i e^{p_it}C私はep私はtは、自由な動きを構成する部分であり、モード。モードの概念については、モーダルフィードバック制御。
一般的な解に加えて、式 (3) には特殊な解もあります。つまり、等号の右側にuuが表示されます。uの多項式が無視できない場合に得られる解明らかに、これらの解決策はシステム内の外部アクションuuの存在です。持続時uuuによる動きを強制動き」といいます。
すると、式 (3) の解は次のように表すことができます。
x ( t ) = xtong ( t ) + xspecial ( t ) = x self ( t ) + x Strong ( t ) x(t) = x_ Tong(t) + x_special(t) = x_self(t) + x_strong(t)x ( t )=バツ合格( t )+バツ特別( t )=バツ以来( t )+バツ強い( t )つまり、システムの運動は自由運動と強制運動から構成されます。
3. 非線形系のテイラー展開とラプラス変換の解の関係
非線形システムf ( x ) f(x) が存在することがわかっています。f ( x )は式 (1) の形式にテイラー展開できます:
f ( x ) = ∑ k = 0 ∞ 1 k ! ( x − x 0 ) kf ( k ) ( x 0 ) (1) f(x ) = \sum _{k=0}^\infty \frac{1}{k!} \left( x - x_0 \right) ^kf^{(k)} \left( x_0 \right) \tag{1 }f ( x )=k = 0∑∞き！1( ×−バツ0)kf( k )( ×0)( 1 )強調して指摘します: 上の式では、xxxは独立変数であり、x 0 , f ( k ) ( x 0 ) x_0, f^{(k)} \left( x_0 \right)バツ0、f( k )( ×0)は定数です。
上記の式のラプラス変換を実行するとよいでしょう。変換の前に、次のラプラス変換特性を使用する必要があります。
L { f ( t ) } = F ( s ) の場合、 L { f ( t − τ ) } = e − s τ L { f ( t ) } = e − s τ F ( s ) \quad \mathscr{L} \left\{ f(t) \right\} = F({\rm s}) の場合、 \qquad then \quad \mathscr{L } \ left\{ f(t - \tau) \right\} = e^{-{\rm s} \tau} \mathscr{L} \left\{ f(t) \right\} = e^{ -{ \rm s} \tau} F ({\rm s})のようにL{
f ( t ) }=F ( s ) 、しかしL{
f ( t−) } _=e− s τ L{
f ( t ) }=e− s τ F(s)上記の特性をタイムシフト特性と呼びます。
次に、べき乗関数のラプラス変換を導入します:
L { tn } = n ! sn + 1 \mathscr{L} \left\{ t^n \right\} = \frac{n!}{ s^{n+1 } }L{
tn }=sn + 1ん！
したがって、式 (1) のラプラス変換は次のようになります。
L { f ( x ) } = L { ∑ k = 0 ∞ 1 k ! ( x − x 0 ) kf ( k ) ( x 0 ) } = ∑ k = 0 ∞ L { 1 k ! ( x − x 0 ) kf ( k ) ( x 0 ) } = ∑ k = 0 ∞ 1 k ! f ( k ) ( x 0 ) L { ( x − x 0 ) k } = ∑ k = 0 ∞ 1 k ! f ( k ) ( x 0 ) L { xk } e − x 0 s = ∑ k = 0 ∞ 1 k ! f ( k ) ( x 0 ) k ! sk + 1 e − x 0 s = e − x 0 s ∑ k = 0 ∞ 1 k ! f ( k ) ( x 0 ) k ! sk + 1 = e − x 0 s [ f ( x 0 ) 1 s + f ' ( x 0 ) 1 s 2 + 1 2 f ' ' ( x 0 ) 2 s 3 + ⋯ ] (4) \begin{aligned } \mathscr{L} \left\{ f(x) \right\} &= \mathscr{L} \left\{ \sum _{k=0}^\infty \frac{1}{k!} \ left( x - x_0 \right) ^kf^{(k)} \left( x_0 \right) \right\} \\ &= \sum _{k=0}^\infty \mathscr{L} \left\ { \frac{1}{k!} \left( x - x_0 \right) ^kf^{(k)} \left( x_0 \right) \right\} \\ &= \sum _{k=0} ^\infty \frac{1}{k!L{
f ( x ) }=L{
k = 0∑∞き！1( ×−バツ0)kf( k )( ×0) }=k = 0∑∞L{
き！1( ×−バツ0)kf( k )( ×0) }=k = 0∑∞き！1f( k )( ×0)L{
( x−バツ0)k }=k = 0∑∞き！1f( k )( ×0)L{
×k }e− ×0s=k = 0∑∞き！1f( k )( ×0)sk + 1き！e− ×0s=e− ×0sk = 0∑∞き！1f( k )( ×0)sk + 1き！=e− ×0s[ f( ×0)s1+f』( ×0)s21+21f「」( ×0)s32+⋯]( 4 ) e − x 0 se^{-x_0 {\rm s}} という項があることに注意してください。e− ×0s，将其泰勒展开有：
ex = 1 + x + 1 2 x 2 + ⋯ = ∑ i = 0 ∞ 1 i ! xi ⟹ e − x 0 s = 1 − x 0 s + 1 2 x 0 2 s 2 + ⋯ = ∑ i = 0 ∞ 1 i ! ( − x 0 s ) ie^x = 1 + x + \frac{1}{2} x^2 + \cdots = \sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!} x^ i \Longrightarrow \\ e^{-x_0 {\rm s}} = 1 - x_0 s + \frac{1}{2} x_0^2 s^2 + \cdots = \sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!} \left( -x_0 s \right)^ieバツ=1+バツ+21バツ2+⋯=i = 0∑∞私は！1バツ私⟹e− ×0s=1−バツ0s+21バツ02s2+⋯=i = 0∑∞私は！1( − ×0s ）これにより、
L { f ( x ) } = e − x 0 s ∑ k = 0 ∞ 1 k が得られます。f ( k ) ( x 0 ) k ! sk + 1 = ∑ i = 0 ∞ 1 i ! ( − x 0 s ) i ⋅ ∑ k = 0 ∞ 1 k ! f ( k ) ( x 0 ) k ! sk + 1 (5) \mathscr{L} \left\{ f(x) \right\} = e^{-x_0 {\rm s}} \sum _{k=0}^\infty \frac{1 }{k!} f^{(k)} \left( x_0 \right) \frac{k!}{ s^{k+1} } = \sum_{i=0}^\infty \frac{1} {i!} \left( -x_0 s \right)^i \cdot \sum _{k=0}^\infty \frac{1}{k!} f^{(k)} \left( x_0 \right ) \frac{k!}{ s^{k+1} } \tag{5}L{
f ( x ) }=e− ×0sk = 0∑∞き！1f( k )( ×0)sk + 1き！=i = 0∑∞私は！1( − ×0s ）私⋅k = 0∑∞き！1f( k )( ×0)sk + 1き！( 5 )
例: 元の関数は次のとおりです:
f ( t ) = ( t − 3 ) 2 = t 2 − 6 t + 9 f(t) = (t-3)^2=t^2-6t+9f ( t )=( t−3 )2=t2−6トン+9 (1) 通常のラプラス変換で解くと、
L { f ( t ) } = L { t 2 − 6 t + 9 } = 2 s 3 − 6 s 2 + 9 s = 9 s 2 − 6 s + 2 s 3 (6–1) \mathscr{L} \left\{ f(t) \right\} = \mathscr{L} \left\{ t^2-6t+9 \right\} = \ frac{2}{s^3} - \frac{6}{s^2} + \frac{9}{s} = \frac{9s^2 - 6s + 2}{s^3} \tag{ 6 --1}L{
f ( t ) }=L{
t2−6トン+9 }=s32−s26+s9=s39秒_2−6秒+2( 6–1 ) (2) タイムシフトの性質より、f ( t ) = ( t − 3 ) 2 f(t)=(t-3)^2f ( t )=( t−3 )2 asg ( t ) = t 2 g(t) = t^2g ( t )=t2、タイムシフト特性に従って:
L { f ( t ) } = L { ( t − 3 ) 2 } = e − 3 s L { t 2 } = e − 3 s 2 s 3 (6 –2) \mathscr{L} \left\{ f(t) \right\} = \mathscr{L} \left\{ (t-3)^2 \right\} = e^{-3 {\rm s}} \mathscr{L} \left\{ t^2 \right\} = e^{-3 {\rm s}} \frac{2}{s^3} \tag{6--2}L{
f ( t ) }=L{
( t−3 )2 }=e− 3秒L{
t2 }=e− 3秒s32( 6–2 )したがって、式 (6–1) と式 (6–2) は等しいはずです:
9 s 2 − 6 s + 2 s 3 = 2 e − 3 ss 3 (6–3) \frac{9s^ 2 - 6s + 2}{s^3} = \frac{2 e^{-3 {\rm s}} }{s^3} \tag{6--3}s39秒_2−6秒+2=s32e_ _− 3秒( 6–3 )右辺2 e − 3 s 2e^{-3 {\rm s}}2e_ _− 3 s泰勒展开：
2 e − 3 s = 2 ∑ i = 0 ∞ 1 i ! ( − 3 s ) i = 2 ( 1 − 3 s + 9 s 2 2 + o ( s 3 ) ) 2e^{-3 {\rm s}} = 2 \sum_{i=0}^\infty \frac {1}{i!} \left( -3 s \right)^i = 2 \left( 1 - 3s + \frac{9s^2}{2} + o \left( s^3 \right) \right )2e_ _− 3秒=2i = 0∑∞私は！1( − 3秒)私=2( 1−3秒+29秒_2+ああ( s3 ))ここで、o ( s 3 ) o \left( s^3 \right)ああ( s3 )は高次の少量です。括弧内を展開すると、式 (6-3) の等号の左側にある分子であることがわかります。したがって、(6–3) が成り立ちます。
上記の解析により、関数を直接ラプラス変換して得られる複素平面式は、テイラー展開してからラプラス変換して得られる複素平面式と同じであることがわかります。