面试题33. 二叉搜索树的后序遍历序列

输入一个整数数组，判断该数组是不是某二叉搜索树的后序遍历结果。如果是则返回 true，否则返回 false。假设输入的数组的任意两个数字都互不相同。

思路

• 后序遍历性质： [ 左子树 | 右子树 | 根节点 ] ，即遍历顺序为 “左、右、根” 。
• 二叉搜索树性质： 左子树任意节点的值 < 根节点的值；右子树任意节点的值 > 根节点的值。

方法一：递归分治
子树递推性质： 对于 [ 左子树 | 右子树 | 根节点 ] 中的左（右）子树，仍满足后序遍历和二叉搜索树性质。
因此，可以通过递归判断每个子树的 正确性 （即其后序遍历是否满足二叉搜索树性质） ，若所有子树都正确，则此序列为二叉搜索树的后序遍历。

• 终止条件： 当 $i\ge j$ ，说明子树节点少于或等于 $1$ 个，无需判别正确性，因此直接返回 $true$ ；

• 递推工作：

  1. 划分左右子树： 遍历后序遍历的 $[i,j]$ 区间元素，寻找 第一个大于根节点（即 $postorder[j]$ ）的节点，索引记为 $m$ 。此时，可划分出左子树区间 $[i,m-1]$ 、右子树区间 $[m,j-1]$ 、根节点索引 $j$ 。
  2. 判断是否满足二叉搜索树性质：
     • 右子树区间 $[m,j-1]$ 内的所有元素都应 $>$ $postorder[j]$ 。实现方式为遍历，当遇到 $\le postorder[j]$ 的元素则跳出；后续可通过 $l=j$ 判断是否满足二叉搜索树性质。
     • 左子树区间 $[i,m-1]$ 内的所有元素都应 $<$ $postorder[j]$ 。而第 1.划分左右子树 步骤已经保证左子树区间的正确性，因此只需要判断右子树区间即可。

• 返回值： 所有子树都需正确才可判定正确，因此使用 与逻辑符 and 连接。

  1. $l==j$ ： 判断此树是否正确。
  2. $recur(i,m-1)$ ： 判断 此树的左子树 是否正确。
  3. $recur(m,j-1)$ ： 判断 此树的右子树 是否正确。

代码：

class Solution:
    def verifyPostorder(self, postorder: [int]) -> bool:
        def recur(i, j):
            if i >= j: 
                return True
            l = i
            while postorder[l] < postorder[j]: 
                l += 1
            m = l
            while postorder[l] > postorder[j]: 
                l += 1
            return l == j and recur(i, m - 1) and recur(m, j - 1)

        return recur(0, len(postorder) - 1)

复杂度分析：

• 时间复杂度 O(N2)O(N^2)O(N2) ： 每次调用 $recur(i,j)$ 减去一个根节点，因此递归占用 $O(N)$ ；最差情况下（即当树退化为链表），每轮递归都需遍历树所有节点，占用 $O(N)$ 。
• 空间复杂度 $O(N)$ ： 最差情况下（即当树退化为链表），递归深度将达到 $N$ 。