C++实现,拓展中国剩余定理——解同余方程组(理论证明和代码实现)

拓展中国剩余定理

前言

记得半年前还写过关于拓展中国剩余定理的博客。。。不过那时对其理解还不是比较深刻，写的也比较乱。

于是趁学校复习之机，再来重温一下拓展中国剩余定理（以下简称ExCRT)

记得半年前还写过关于拓展中国剩余定理的博客。。。不过那时对其理解还不是比较深刻，写的也比较乱。

于是趁学校复习之机，再来重温一下拓展中国剩余定理（以下简称ExCRT)

一些理论准备

拓展欧几里得解不定方程

对于不定方程\(a*x+b*y=gcd(a,b)\)，视a,b为常数，我们有一种通用的方法来求一组特解：

LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y) {
    if(b==0) { x=1,y=0; return a; }     
    LL d=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=(a/b)*x;
    return d;
}

注：这种方法只能求一种特解，对于求所有的解请读者自行百度。这个函数运行到最后，x,y便是一组特解，返回值为\(gcd(a,b)\)。

于是我们可以将这个方程推广为解类似于\(a*x+b*y=c\)这个不定方程，方法就是先求出方程\(a*x'+b*y'=gcd(a,b)\)的解，之后将等式两边同时乘以\(c/gcd(a,b)\)。便转换为:

\(a*x'*c/gcd(a,b)+b*y'*c/gcd(a,b)=c\),\(x=x'*c/gcd(a,b),y=y'*c/gcd(a,b)\).

而如果c并不能被\(gcd(a,b)\)整除，那么此不定方程无解

理论证明

对于同余方程：

\(\left\{\begin{matrix}x\equiv r_{1}(mod\: m_{1}) & & \\ x\equiv r_{2}(mod\: m_{2}) & & \\ ...... & & \\x\equiv r_{k}(mod\: m_{k}) \end{matrix}\right.\)

我们可以考虑\(k=2\)的情况，也就是解如下方程：

\(\left\{\begin{matrix} x\equiv r_{1}(mod\: m_{1})\\ x\equiv r_{2}(mod\: m_{2}) \end{matrix}\right.\)

由如上方程不难转换为以下形式

\(\left\{\begin{matrix} x=k1*m1+r1\\ x=k2*m2+r2 \end{matrix}\right.\)

将两个式子合并可以得到：

\(k1*m1-k2*m2=r2-r1\)

对于这个不定方程，我们可以使用拓展欧几里得来求解。

先解出方程\(k1'*m1-k2'*m2=gcd(m1,m2)\),于是可以得到

\(k1=k1'*(r2-r1)/gcd(m1,m2)\),代入式子\(x=k1*m1+r1\)便可以算出x的一组特解，设这个特解为\(x0\),那么可以得到通解

\(x=x0+t*lcm(m1,m2)\),于是我们便通过合并第1,2个同余式子得到了新的一个同余方程：\(x\equiv x0(mod\: lcm(m1,m2))。\)

将这个同余方程按照同样的方法与第三个同余式子合并，最后只剩下唯一一个式子\(x\equiv x_{k}(mod\: lcm(所有模数m_{i}))\)。

此时的答案便可以得出最小的答案。

代码实现

LL ExCRT() {
    LL M=m[1],R=r[1];
    //方便 理解代码的话
    //m可以看作上述x0,R可以看作lcm(m1,m2)
    for(LL i=2,d,x,y;i<=n;i++) {
        d=exgcd(M,m[i],x,y);//d为最大公约数
        if((R-r[i])%d) return -1;//无解的情况
        x=x*(R-r[i])/d%m[i];
        R-=x*M;
        M=M/d*m[i];
        R%=M;
    }
    return (R%M+M)%M;//最小的正整数解
}

写在后面

现在发现。。。ExCRT好简单