中国剩余定理_解一次同余方程组

问题

孙子定理是中国古代求解一次同余式组（见同余）的方法。是数论中一个重要定理。又称中国余数定理。一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：
有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。《孙子算经》中首次提到了同余方程组问题，以及以上具体问题的解法，因此在中文数学文献中也会将中国剩余定理称为孙子定理。
抽象来说，就是已知m和a求解一次同余方程
$\{\begin{array}{l}x三m_1(mod{a}_1)\\ x三m_2(mod{a}_2)\\ ...\\ x三m_n(mod{a}_n)\end{array}$

思路

由于由n个同余方程，要求直接解上式较为复杂，所以先考虑只有两个同余方程的情况。
$\{\begin{array}{l}x三m_1(mod{a}_1)\\ x三m_2(mod{a}_2)\end{array}$
一般求解同余方程都要先将同余方程转换为一般方程的格式。上式可以转换为。
$\{\begin{array}{l}x=k_1\ast a_1+m_1\\ x=k_2\ast a_2+m_2\end{array}$
可得
$k_1\ast a_1+m_1=k_2\ast a_2+m_2$
对方程进行变换后得
$k_1\ast a_1-k_2\ast a_2=m_2-m_1$
其中，$m_2,m_1,a_1,a_2$都是已知量，上式就符合$ax+by=c$的不定方程形式，可以通过扩展欧几里得算法求解。
扩展欧几里得算法解不定方程
对不定方程求解得
$\{\begin{array}{l}{k}_1=k_{01}+k\ast \frac{a_2}{d}\\ k_2=k_{02}+k\ast \frac{a_1}{d}\end{array}$
其中$k_1,k_2$表示满足上述方程的所有解,$k_{0,1},k_{02}$表示满足方程的一组特解，k是任意非零整数，d是$a_1,a_2$的最大公约数
将$k_1$回代到$x=k_1\ast a_1+m_1$,得$x=a_1\ast k_{01}+k\ast \frac{a_2{a}_1}{d}+m_1$,其中$\frac{a_2{a}_1}{d}$是$a_2,a_1$的最小公倍数。
于是，上述两个同余方程就被转化为了一个同余方程。
$x=k\ast \frac{a_2{a}_1}{d}+x_0$
即
$x三x_0(mod\frac{a_2{a}_1}{d})$
其中，$x_0$是满足上述同余方程的任意一组解，x是满足同余方程组的所有解。

推广

在思路中，证明了两个一阶同余方程组可以被转换为一个一阶同余方程。所以，要求解n个一阶同余方程，可以依次转换，化繁为简。

$\{\begin{array}{l}x三m_1(mod{a}_1)\\ x三m_2(mod{a}_2)\\ ...\\ x三m_n(mod{a}_n)\end{array}=\{\begin{array}{l}x三x_0(mod\frac{a_2{a}_1}{d})\\ x三m_3(mod{a}_3)\\ ...\\ x三m_n(mod{a}_n)\end{array}=...$
最终可以将上式转换为两个一阶同余方程组，利用扩展欧几里得算法就可以求得正确的解。

例题

代码模板

#include<iostream>
using namespace std;

typedef long long LL;

LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y){
    
    
	#扩展欧几里得算法
    if(b==0){
    
    
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    int d = exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=(a/b)*x;
    return d;
}

int main(){
    
    
    int n;
    LL a1,m1;
    LL a2,m2,k1,k2;
    cin>>n;
    cin>>a1>>m1;
    for(int i=0;i<n-1;i++){
    
    
        scanf("%d%d",&a2,&m2);
        //求解不定方程，默认方程右边是最大公约数
        int d = exgcd(a1,a2,k1,k2);
        if((m2-m1)%d!=0){
    
    
        	//方程无解
            printf("-1");
            return 0;
        }
        k1 *= (m2-m1)/d;//得到满足条件的一个k0
        LL t = a2/d;
        k1 = (k1%t+t)%t;//寻找满足条件的最小正整数k0
        
        m1 = k1*a1+m1; //更新m1
        a1 = a1/d*a2;//更新a1，先除法是为了防止越界
    }
    printf("%lld",m1);//输入m1
    return 0;
}