一些函数的一些性质
取整函数 \(\lfloor x \rfloor\)
（一）\(\lfloor x \rfloor <= x < \lfloor x \rfloor +1\)
（二）对任意x与正整数a，b\(\lfloor \lfloor \frac{x}{a} \rfloor /b\rfloor=\lfloor \frac{x}{ab}\rfloor\)
（三）对于正整数n，1 -- n中d的倍数个数为 \(\lfloor \frac{n}{d} \rfloor\)
（四）若n为正整数，\(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor\)不同取值个数不超过\(2\times\sqrt{n}种\)
证明：
\(（1）若d \leq{\sqrt{n}},\lfloor \frac{n}{d}\rfloor只有不超过\sqrt{n}种\)
\(（2）若d>\sqrt{n}，\lfloor \frac{n}{d} \rfloor \leq \frac{n}{d} \leq \sqrt{n},\lfloor \frac{n}{d}\rfloor 不超过\sqrt{n}种\)
\(综上,\lfloor \frac{n}{d}\rfloor 不超过2\times{\sqrt{n}}种\)
调和数
定义 \[Hn=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\]运算得\[ Hn=ln(n)+r+o(1) \]其中r为欧拉马歇罗尼常数，r约为0.577 ，因此\[ \sum\limits_{d=1}^{n} \lfloor \frac{n}{d}\rfloor = o(n\times{logn)} \]
素数计数函数
\[ \pi(n)\sim \frac{n}{ln (n)}\]\[ 因此n附近素数密度近似为\frac{1}{ln(n)}\]\[ 第n个素数pn\sim n\times{ln(n)}\]
数论函数
积性函数
\[ f为数论函数，对互质的正整数a，b，f(a\times{b})=f(a)\times{f(b})\]
完全积性函数
\[ f为数论函数，对任意的正整数a，b，f(a\times{b})=f(a)\times{f(b})\]
\(若f为积性函数，\) \[ n=p1^{a1}\times{p_2^{a_2}}\times{p_3^{a_3}}......\times{p_s^{a_s}}\]\[ f(n)=f(p_1^{a_1})\times{f(p_2^{a_2})}\times{f(p_3^{a_3})}......\times{f(p_s^{a_s})}\]
单位函数
\[\epsilon(n)=[n==1]= \left\{ \begin{aligned} 1&,n=1\\ 0&,n!=1\\ \end{aligned} \right. \]
除数函数
\(\delta_k(n)表示n因子的k次方之和\)
\[ \delta_k(n)=\sum\limits_{d|n}d^k\]
Euler函数：\(\phi(n)\)
\(Euler函数表示不超过n且与n互质的正整数个数\)
性质：
\[ n=\sum\limits_{d|n}\phi(d) \]
证明：
\(若gcd(n,i)=d，gcd(\frac{n}{d},\frac{i}{d})=1\)
\(其中\frac{i}{d}是不超过\frac{n}{d}的整数，由欧拉函数的定义，i的个数为\phi(\frac{n}{d})个\)
\(对于所有的d|n，n=\sum\limits_{d|n}\phi(\frac{n}{d})=\sum\limits_{d|n}\phi(d)\)
Dirichlet 卷积
\(f,g为数论函数，数论函数h满足\) \[ h(n)=\sum\limits_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})\]
\(则h为f与g的Dirichlet卷积，记为\)
\[h=f \ast g\]
性质
\((1)单位函数\epsilon为Dirichlet卷积的单位元，即对于任意函数f，有\)
\[\epsilon \ast f=f \ast \epsilon =f\]
\((2)满足交换律和结合律\)
\((3) 若f,g为积性函数，f \ast g也为积性函数\)
\((4) 逆函数：f \ast f_逆=\epsilon\)
\(定义幂函数：Id_k(n)=n^k,Id=Id_1\)
\(所以除数函数: \delta_k=1 \ast Id_k\)
\(Euler函数： \phi(n) = 1 \ast Id\)
计算Dirichlet卷积：
\(f,g为数论函数，则 f \ast g在n处的值需要枚举n的所有约数\)
\(计算f \ast g的前n项，枚举1到n中每个数的倍数\)
Mobius 函数
\[\mu(n)= \left\{ \begin{aligned} &1&n=1 \\ &(-1)^s&n=p_1\times{p_2}\times{p_3}......\times{p_s}\\ &0&otherwise \\ \end{aligned} \right. \]
\(其中p_1,p_2,p_3为素数\)
性质
\[\sum\limits_{d|n}\mu(n)= \epsilon(n) \Rightarrow \mu \ast 1 = \epsilon\]
证明：
\(n=1,显然成立\)
\(n>1\)
\(设n有s个不同的素因子，由Mobius函数定义,\)
\(当且仅当d无平方因子的时候，\mu(d)!=0\)
\(于是d中的每一个素因子的指数只能是0或1\)
\(故由二项式定理\)
\[\sum\limits_{d|n}\mu(d)=\sum\limits_{k=0}^s (-1)^k(s,k)=(1-1)^s=0\]
\(得证\)
Mobius变换
\(设f为数论函数，定义函数g满足：\)
\[g(n)=\sum\limits_{d|n}f(d)\]
\(则称g为f的Mobius变换，f是g的Mobius逆变换\)
\(Dirichlet卷积\) \[g=f \ast 1\]
Mobius反演
\(g(n)=\sum\limits_{d|n}f(d)的充要条件为f(n)=\sum\limits_{d|n}g(d)\mu(\frac{n}{d})\)
证明：
\[g=f \ast 1\]
\[f=f \ast \epsilon =f \ast 1 \ast \mu =g \ast \mu\]
得证。
应用
利用Dirichlet卷积可以解决一系列求和问题。
常用一个Dirichlet卷积替换求和式中的一部分，然后调换求和顺序，最终降低时间复杂度。
常用：
\(\mu \ast 1= \epsilon\)
\(Id = 1 \ast \phi\)