前言

Barbalat引理在非线性系统的分析中引用广泛，本博文提供相应的证明。

一、Barbalat 引理

(Barbalat 引理)
如果可微函数 $f (t)$ , 当 $\rightarrow \infty$ 时存在有限极限, 且 $\dot{f}(t)$ 一致连续, 那么当 $\rightarrow \infty$ 时, $\dot{f}(t) \rightarrow 0$ 。

二、反证法

证明（反证法）：
假设当 $\rightarrow \infty$ 时， $\dot{f}(t) \rightarrow 0$ 不成立，那么存在一个递增无穷序列 $\{t_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ 使得（1）当 $\rightarrow \infty$ 有 $t_n \rightarrow \infty$ ；（2） $|\dot{f}(t_n) | \geqslant \epsilon>0$ 对于所有 ${t_n\}$ 。

考虑 $\dot{f}(t)$ 的一致连续性，根据 $\epsilon-\delta$ 理论，存在某个 $\epsilon>0$ ，使得对于所有 $n\in\mathbb{N}$ 和所有 $\in \mathbb{R}$ ，当
$|t_n -t|\leqslant\delta$ 则有 $\left|\dot{f}\left(t_{n}\right)-\dot{f}(t)\right| \leq \frac{\epsilon}{2}$

考虑 $\dot f(t_n)$ 的值和上式，可以知道 $\dot{f}\left(t_{n}\right)$ 和 $\dot{f}(t)$ 一定是同符号。

因此，对于所有 $t\in[t_n,t_n+\delta]$ ，和所有 $n\in\mathbb{N}$ ，有 $\begin{aligned} |\dot{f}(t)| =\left|\dot{f}\left(t_{n}\right)-\left(\dot{f}\left(t_{n}\right)-\dot{f}(t)\right)\right| \geqslant \left|\dot{f}\left(t_{n}\right)\right|-\left|\dot{f}\left(t_{n}\right)-\dot{f}(t)\right| \geqslant \epsilon-\frac{\epsilon}{2}=\frac{\epsilon}{2} \end{aligned}$ 因此，对于所有 $n\in\mathbb{N}$ ，有 $\left|\int_{0}^{t_{n}+\delta} \dot{f}(t) d t-\int_{0}^{t_{n}} \dot{f}(t) d t\right|=\left|\int_{t_{n}}^{t_{n}+\delta} \dot{f}(t) d t\right|=\int_{t_{n}}^{t_{n}+\delta}|\dot{f}(t)| d t \geq \frac{\epsilon \delta}{2}>0$

可微函数 $f (t)$ , 当 $\rightarrow \infty$ 时存在有限极限，因此可知， $\int_0^\infty \dot f(t) dt<\beta$ 存在，因此，当 $n\rightarrow \infty$ ， $\left|\int_{0}^{t_{n}+\delta} \dot{f}(t) d t-\int_{0}^{t_{n}} \dot{f}(t) d t\right| \rightarrow 0,$ 和上式产生矛盾，因此反证法可证，当 $\rightarrow \infty$ 时, $\dot{f}(t) \rightarrow 0$ 。