矩阵求逆引理，或者称Sherman-Woodbury-Morrison公式
(A+BC)−1=A−1−A−1B(I+CA−1B)−1CA−1
其中
A∈Rn×n
是非奇异矩阵，
B∈Rn×p
，
C∈Rp×n
。
证明：
考虑线性等式
(A+BC)x=b
其中
A∈Rn×n
是非奇异矩阵，
B∈Rn×p
，
C∈Rp×n
。定义
y=Cx
，则有
{Ax+By=by=Cx
该方程组可以写成块矩阵的形式
[ACB−I][xy]=[b0]
根据方程组（1）式，有
x=A−1(b−By)
，代入方程组（2）式中有
y=CA−1(b−By)
合并同类项，有
y=(I+CA−1B)−1A−1b
代入
x=A−1(b−By)
中，得到
x=(A−1−A−1B(I+CA−1B)−1CA−1)b
因此，结合
(A+BC)x=b
，得到
(A+BC)−1=A−1−A−1B(I+CA−1B)−1CA−1
特别地，
B,C
为矢量时，有
(A+uvT)−1=A−1−A−1uvTA−11+vTA−1u
说明：该证明过程是翻译body的书 《Convex Optimization》 p-678的内容。
Remake：单纯的应用矩阵求逆引理并不能降低计算量，当一个矩阵
D
可以分解成
A+BC
，并且已知
A−1
已知，利用矩阵求逆引理，可以得到
D
的逆。