1.题目描述
给定不同面额的硬币和一个总金额。写出函数来计算可以凑成总金额的硬币组合数。假设每一种面额的硬币有无限个。
示例 1:
输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5]
输出: 4
解释: 有四种方式可以凑成总金额:
5=5
5=2+2+1
5=2+1+1+1
5=1+1+1+1+1
示例 2:输入: amount = 3, coins = [2]
输出: 0
解释: 只用面额2的硬币不能凑成总金额3。
示例 3:输入: amount = 10, coins = [10]
输出: 1
注意:
你可以假设：
0 <= amount (总金额) <= 5000
1 <= coin (硬币面额) <= 5000
硬币种类不超过 500 种
结果符合 32 位符号整数
2.解题思路
类比零钱兑换第一题，每个面值的钱可以使用任意多次，我们可以构造一个dp数组，如dp数组的行数为N，列数为aim+1，dp[i][j] 的含义是：在可以任意使用arr[0..i]货币的情况下，组成钱数j有多少张方法。
第一行dp[0][0..aim]中每一个元素dp[0][j]表示用arr[0]货币找开面额 j的方法，此时我们只能选取arr[0]这一张货币，所以只有arr[0]的整数倍的面额钱才可以找开，例如当arr[0]=3，aim=10时，只能找开3,6,9的货币，且只有一种方法即只是用arr[0]，而其他面额的则无法找开，所以将arr[0][3,6,9]初始化为1 除此之外其他值初始化为0表示无法找开。对于第一列dp[0..n][0] 中的每一个元素dp[i][0]表示用arr[i]组成面额为0的钱的最少货币数，完全不需要任何货币，即一种方法，初始化为1。
对于剩下的任意dp[i][j]，我们依次从左到右，从上到下计算，dp[i][j]的值下面的方法数的和：
- 完全不用arr[i]的货币，只使用arr[0..i-1]货币时，方法数为dp[i-1][j]
- 用1张arr[i]货币，剩下的钱用arr[0..i-1]货币组成时，方法数为dp[i-1][j-arr[i]]
- 用2张arr[i]货币，剩下的钱用arr[0..i-1]货币组成时，方法数为dp[i-1][j-2*arr[i]]
- …
- 用k张arr[i]货币，剩下的钱用arr[0..i-1]货币组成时，方法数为dp[i-1][j-k*arr[i]]
其实从第二种情况到第k种情况方法的累加值其实就是dp[i][j-arr[i]]的值（解释一下：比如我们有两个硬币[1,2]，钱数为5，那么钱数的5的组成方法是可以看作两部分组成，一种是由硬币1单独组成，那么仅有一种情况(1+1+1+1+1)；另一种是由1和2共同组成，说明我们的组成方法中至少需要由一个2，所以此时我们先取出一个硬币2，那么我们只要拼出钱数为3即可，这个3还是可以用硬币1和2来拼，所以就相当于求由硬币[1,2]组成的钱数为3的总方法。），所以dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-arr[i]] 。
作者：小北觅
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来源：简书
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3.代码实现
class Solution:
def change(self, amount: int, coins: List[int]) -> int:
dp = [[0 for _ in range(amount+1)] for _ in range(len(coins) + 1)]
n = len(coins)
dp[0][0] = 1
for i in range(1, n + 1):
dp[i][0] = 1
for j in range(1, amount + 1):
dp[i][j] = dp[i - 1][j]
if j >= coins[i - 1]:
dp[i][j] += dp[i][j - coins[i - 1]]
# print(dp)
return dp[-1][-1]
还有一种dfs解法，但是复杂度过高，无法ac，代码如下：
class Solution(object):
def dfs(self,amount,coins,res,out):
if amount < 0:
return
if amount == 0:
res[0] += 1
return
for coin in coins:
# 去重，比已有的小的就不能再拿了
if out and coin < out[-1]:
continue
out.append(coin)
self.dfs(amount-coin,coins,res,out)
out.pop()
def change(self, amount, coins):
"""
:type amount: int
:type coins: List[int]
:rtype: int
"""
res = [0]
# 排序
coins.sort()
self.dfs(amount,coins,res,[])
return res[0]