打卡第43天，去广州浪了几天，补卡补卡。
今日任务
- 完全背包
-
- 零钱兑换 II
-
- 组合总和 Ⅳ
完全背包
有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品都有无限个（也就是可以放入背包多次），求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。
完全背包和01背包问题唯一不同的地方就是，每种物品有无限件。
例子：
背包最大重量为4。
物品为：
| 物品 | 重量 | 价值 |
|---|---|---|
| 物品0 | 1 | 15 |
| 物品1 | 3 | 20 |
| 物品2 | 4 | 30 |
每件商品都有无限个！
问背包能背的物品最大价值是多少？
- dp以及下标的定义
dp[i][j] 背包重量为 j 最大价值。 - 递推公式
d p [ i ] [ j ] = m a x ( m a x ( d p [ i − 1 ] [ j ] , d p [ i − 1 ] [ j − v [ i ] ] + w [ i ] ) , d p [ i ] [ j − v [ i ] ] + w [ i ] ) dp[i][j] = max(max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - v[i]] + w[i]), dp[i][j - v[i]] + w[i]) dp[i][j]=max(max(dp[i−1][j],dp[i−1][j−v[i]]+w[i]),dp[i][j−v[i]]+w[i]) - 初始化
dp[i][0] = 0; 重量为0，没有价值
dp[0][j]
我的题解
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {
int N, V;
scanf("%d%d", &N, &V);
vector<int> v(N);
vector<int> w(N);
for(int i = 0; i < N; i++) {
scanf("%d %d", &v[i], &w[i]);
}
vector<vector<int>> dp(N, vector<int> (V + 1, 0));
for(int i = v[0]; i <= V; i++) dp[0][i] = dp[0][i - v[0]] + w[0];
for(int i = 1; i < N; i++)
for(int j = 1; j <= V; j++) {
if(v[i] > j) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
else dp[i][j] = max(max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - v[i]] + w[i]), dp[i][j - v[i]] + w[i]);
}
// for(int i = 0 ; i < N; i++) {
// for(int j = 0; j <= V; j++) printf("%d ", dp[i][j]);
// printf("\n");
// }
printf("%d", dp[N - 1][V]);
return 0;
}
代码随想录
遍历顺序
我们知道01背包内嵌的循环是从大到小遍历，为了保证每个物品仅被添加一次。
而完全背包的物品是可以添加多次的，所以要从小到大去遍历
在完全背包中，对于一维dp数组来说，其实两个for循环嵌套顺序是无所谓的！
因为dp[j] 是根据 下标j之前所对应的dp[j]计算出来的。 只要保证下标j之前的dp[j]都是经过计算的就可以了。
遍历物品在外层循环，遍历背包容量在内层循环，
一维数组
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {
int N, V;
scanf("%d%d", &N, &V);
vector<int> v(N);
vector<int> w(N);
for(int i = 0; i < N; i++) {
scanf("%d %d", &v[i], &w[i]);
}
vector<int> dp(V + 1, 0);
for(int i = 0; i < N; i++)
for(int j = v[i]; j <= V; j++) {
dp[j] = max(dp[j], dp[j - v[i]] + w[i]);
}
printf("%d", dp[V]);
return 0;
}
518. 零钱兑换 II
给你一个整数数组 coins 表示不同面额的硬币，另给一个整数 amount 表示总金额。
请你计算并返回可以凑成总金额的硬币组合数。如果任何硬币组合都无法凑出总金额，返回 0 。
假设每一种面额的硬币有无限个。
题目数据保证结果符合 32 位带符号整数。
示例 1：
输入：amount = 5, coins = [1, 2, 5]
输出：4
解释：有四种方式可以凑成总金额：
5=5
5=2+2+1
5=2+1+1+1
5=1+1+1+1+1
示例 2：
输入：amount = 3, coins = [2]
输出：0
解释：只用面额 2 的硬币不能凑成总金额 3 。
示例 3：
输入：amount = 10, coins = [10]
输出：1
提示：
1 <= coins.length <= 3001 <= coins[i] <= 5000coins中的所有值 互不相同0 <= amount <= 5000
我的题解
class Solution {
public:
int change(int amount, vector<int>& coins) {
vector<int> dp(amount + 1, 0); //dp[j] 金额为j时候有多少种方式凑成
dp[0] = 1; //初始化
for(int i = 0; i < coins.size(); i++) {
for(int j = coins[i]; j <= amount; j++) {
dp[j] += dp[j - coins[i]]; //递推公式
}
}
return dp[amount];
}
};
代码随想录
虽然解法一样，但我明显没有想那么多。
遍历顺序get
先来看 外层for循环遍历物品（钱币），内层for遍历背包（金钱总额）的情况。
for (int i = 0; i < coins.size(); i++) {
// 遍历物品
for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) {
// 遍历背包容量
dp[j] += dp[j - coins[i]];
}
}
假设：coins[0] = 1，coins[1] = 5。
那么就是先把1加入计算，然后再把5加入计算，得到的方法数量只有{1, 5}这种情况。而不会出现{5, 1}的情况。
所以这种遍历顺序中dp[j]里计算的是组合数！
如果把两个for交换顺序，代码如下：
for (int j = 0; j <= amount; j++) {
// 遍历背包容量
for (int i = 0; i < coins.size(); i++) {
// 遍历物品
if (j - coins[i] >= 0) dp[j] += dp[j - coins[i]];
}
}
背包容量的每一个值，都是经过 1 和 5 的计算，包含了{1, 5} 和 {5, 1}两种情况。
此时dp[j]里算出来的就是排列数！
377. 组合总和 Ⅳ
给你一个由 不同 整数组成的数组 nums ，和一个目标整数 target 。请你从 nums 中找出并返回总和为 target 的元素组合的个数。
题目数据保证答案符合 32 位整数范围。
示例 1：
输入：nums = [1,2,3], target = 4
输出：7
解释：
所有可能的组合为：
(1, 1, 1, 1)
(1, 1, 2)
(1, 2, 1)
(1, 3)
(2, 1, 1)
(2, 2)
(3, 1)
请注意，顺序不同的序列被视作不同的组合。
示例 2：
输入：nums = [9], target = 3
输出：0
提示：
1 <= nums.length <= 2001 <= nums[i] <= 1000nums中的所有元素 互不相同1 <= target <= 1000
进阶： 如果给定的数组中含有负数会发生什么？问题会产生何种变化？如果允许负数出现，需要向题目中添加哪些限制条件？
代码随想录
直接想起上一道题，先遍历物品再遍历背包是排列，先遍历背包再遍历物品是组合。
但是注意测试用例有两个数相加超过int的数据，所以需要在if里加上dp[i] < INT_MAX - dp[i - num]。
本题也可以用回溯暴搜，如果需要把排列都列出来，回溯可以解
class Solution {
public:
int combinationSum4(vector<int>& nums, int target) {
vector<int> dp(target + 1, 0);
dp[0] = 1;
for(int j = 0; j <= target; j++) {
for(int i = 0; i < nums.size(); i++) {
if(j >= nums[i] && dp[j] < INT_MAX - dp[j - nums[i]]) dp[j] += dp[j - nums[i]];
}
}
return dp[target];
}
};