给你一个整数数组 coins 表示不同面额的硬币，另给一个整数 amount 表示总金额。请你计算并返回可以凑成总金额的硬币组合数。如果任何硬币组合都无法凑出总金额，返回 0 。
假设每一种面额的硬币有无限个。 题目数据保证结果符合 32 位带符号整数。
示例 1：
输入：amount = 5, coins = [1, 2, 5] 输出：4 解释：有四种方式可以凑成总金额： 5=5 5=2+2+1 5=2+1+1+1 5=1+1+1+1+1
示例 2：
输入：amount = 3, coins = [2] 输出：0 解释：只用面额 2 的硬币不能凑成总金额 3 。
示例 3：
输入：amount = 10, coins = [10] 输出：1
>>思路和分析
- ① 钱币数量不限，可以知道这是一个完全背包的问题；
- ② 与纯完全背包式凑成背包最大价值是多少，而本题是要求凑成总金额的物品组合个数！
注意题目描述中是凑成总金额的硬币组合数，为什么强调是组合数呢？
例如示例一：
5 = 2 + 2 + 1
5 = 2 + 1 + 2
这是一种组合，都是 2 2 1。如果问的是排列数，上面就是两种排列了。
注意：组合不强调元素之间的顺序，排列强调元素之间的顺序
>>动规五部曲
1.确定dp数组以及下标的含义
dp[j] : 凑成总金额 j 的货币组合数 为 dp[j]
2.确定递推公式
- dp[j] 就是所有的 dp[j - coins[i]] （考虑 coins[i] 的情况）相加
- 所以递推公式：dp[j] += dp[j - coins[i]];
0-1背包题目有这篇LeetCode 494.目标和中讲解了，求装满背包有几种方法，公式都是：
dp[j] += dp[j - nums[i]];
3.dp数组初始化
dp[0] = 1，这是递归公式的基础；若dp[0] = 0的话，后面所有推导出来的值都是0了
下标非0的dp[j]初始化为0，这样累计加dp[j - coins[i]]的时候才不会影响真正的 dp[j]
dp[0] = 1 还说明了一种情况：如果正好选了coins[i]后，也就是 j - coins[i] == 0的情况表示这个硬币刚好能选，此时 dp[0] 为1 表示只选coins[i]存在这样的一种选法
4.确定遍历顺序
- 方式一：先遍历物品再遍历背包
- 方式二：先遍历背包再遍历物品
在纯完全背包中，先遍历物品再遍历背包，还是先遍历背包再遍历物品，两者都可以！
本题就不行了！因为纯完全背包求得装满背包的最大价值是多少，和凑成总和的元素有没有顺序是没有关系的，即：有顺序也行，没顺序也行！
但在本题中要求凑合总和的组合数，元素之间明确要求没有顺序的。所以只能是方式一这种遍历顺序，那为什么不能是方式二呢？
对于方式一在完全背包中：外层for 循环遍历物品（钱币），内层for遍历背包（金钱总额）的情况
for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量
dp[j] += dp[j - coins[i]];
}
}假设：coins[0] = 1,coins[1] = 5
那么就是先把1加入计算，再把5加入计算，得到的只有{1,5}这种情况，是不会出现{5,1}这种情况的，所以这种遍历顺序中dp[j]里计算的是组合数！
对于方式二在完全背包中：外层for遍历背包（金钱总额），内层for 循环遍历物品（钱币）的情况
for (int j = 0; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量
for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
if (j - coins[i] >= 0) dp[j] += dp[j - coins[i]];
}
}背包容量的每一个值，都是经过1 和 5的计算，包含了 {1,5} 和 {5,1}两种情况。此时dp[j]里算出来的就是排列数!
5.举例推导dp数组
输入：amount = 5,coins = [1,2,5],dp状态图如下：
dp[amout]为最终结果
class Solution {
public:
int change(int amount, vector<int>& coins) {
vector<int> dp(amount + 1, 0);
dp[0] = 1;
for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包
dp[j] += dp[j - coins[i]];
}
}
return dp[amount];
}
};- 时间复杂度：O(mn),其中 m 是 amount，n是coins的长度
- 空间复杂度：O(m)
【总结】
本题的递推公式，在 494.目标和 中已经做了详细讲解，而本题的难点主要在于遍历顺序！
- 在求装满背包有几种方案的时候，确定遍历顺序是非常关键的；
- 如果求组合数，那就是外层for循环遍历物品，内层for循环遍历背包
- 如果求排列数，那就是外层for循环遍历背包，内层for循环遍历物品
来自代码随想录的课堂截图：
参考文章和视频：
动态规划之完全背包，装满背包有多少种方法？组合与排列有讲究！| LeetCode：518.零钱兑换II_哔哩哔哩_bilibili