一、马尔可夫矩阵
马尔可夫矩阵例子：
$A=\left[\begin{array}{ccc}{0.1} & {0.01} & {0.3} \\ {0.2} & {0.99} & {0.3} \\ {0.7} & {0} & {0.4}\end{array}\right]$
1）马尔可夫矩阵性质：
1. 每个元素大于等于0 - 马尔可夫矩阵和概率思想有关联，而概率值是非负的
2. 每一列元素相加和为1，实际上，马尔可夫矩阵的幂仍是马尔可夫矩阵
下面将会降到，马尔可夫矩阵存在一个特征值为1，矩阵每列的和为1的性质保证了1是矩阵的一个特征值，从而可以在不计算$A-\lambda I$的情况下计算出其他特征值
2）马尔科夫矩阵的特征值性质是：
a.$\lambda = 1$是一个特征值
b.其他特征值的绝对值小于1
从而可以推导出，在$\lambda = 1$的情况下，其他特征值的绝对值均小于1，从而在$k$趋向无穷的时候$c_{n} \lambda_{n}^{k} x_{n} \rightarrow 0(n \neq 1)$，最终$u_k$的值将等于$c_1x_1$，这就是$u_k$的稳态
$u_{k}=A^{k} u_{0}=c_{1} \lambda_{1}^{k} x_{1}+c_{2} \lambda_{2}^{k} x_{2}+\cdots+c_{n} \lambda_{n}^{k} x_{n}=c_{1} x_{1}$
这里不懂的话请参考22-对角化和A的幂
3）为何马尔可夫矩阵必有一个特征值$\lambda_1 = 1$
我们通过下式来计算$A$的特征值：$det(A - \lambda I) = 0$，如果$\lambda = 1$是一个特征值，那么$det (A-I) = 0$，$A-I$一定是个奇异矩阵
$A -I =\left[\begin{array}{ccc}{-0.9} & {0.01} & {0.3} \\ {0.2} & {-0.01} & {0.3} \\ {0.7} & {0} & {-0.6}\end{array}\right]$
$A$减去单位向量相当于把$A$的每一列之和减去$1$，此时所有行向量相加得到$0$向量，这意味着一个行向量可以用另外两个行向量表示，因此行向量是线性相关的，$A-I$是奇异矩阵，一定会有$det(A-I)=0$
向量$(1 1 1)$【左行右列：行向量在左，乘以矩阵表示矩阵的行进行线性组合，列向量在右，乘以矩阵表示矩阵的列进行线性组合】在其左零空间中，特征值为1对应特征向量在一定在其零空间（因为$Ax_1=x_1, (A-I)x_1=0$）
二、马尔可夫矩阵的应用
我要研究的是$u_{k+1} = Au_k$，$A$为马尔可夫矩阵
我们用人口的流动解释马尔可夫矩阵：
$A =\left[\begin{array}{ll}{0.9} & {0.2} \\ {0.1} & {0.8}\end{array}\right]$
$\left[\begin{array}{l}{u_{A}} \\ {u_{B}}\end{array}\right]_{t=k+1}=\left[\begin{array}{ll}{0.9} & {0.2} \\ {0.1} & {0.8}\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{u_{A}} \\ {u_{B}}\end{array}\right]_{t=k}$
$u$的分量分别表示目前两个城市人口，$A$中的每一列代表人口的去留比例。第一列的$0.9$表示留在$u_A$的人口占$u_A$总人口的90%，剩余10%流入$u_B$；第二列的0.2表示从$u_B$流入$u_A$的人口占$u_B$的20%，剩余80%留在$u_B$。
每一列的加和为1保证了总人口不变。如果有一个初始值：
$\left[\begin{array}{l}{u_{A}} \\ {u_{B}}\end{array}\right]_{t=0}=\left[\begin{array}{l}{0} \\ {1000}\end{array}\right]$
表示在t=0时刻，$u_A$的总人口是0，是个待开辟的新城市，$u_B$有1000人。经过一次迁徙，在t=1时刻：
$\left[\begin{array}{c}{u_{A}} \\ {u_{B}}\end{array}\right]_{t=1}=\left[\begin{array}{ll}{0.9} & {0.2} \\ {0.1} & {0.8}\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{u_{A}} \\ {u_{B}}\end{array}\right]_{t=0}=\left[\begin{array}{ll}{0.9} & {0.2} \\ {0.1} & {0.8}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{0} \\ {1000}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{200} \\ {800}\end{array}\right]$
这次迁徙主要是从$u_B$迁入$u_A$，有200人进入$u_A$，剩余800人留在$u_B$
我们希望获得长时间迁徙后的人口分布，这需要知道$A$的特征值和特征向量。A是马尔可夫矩阵，因此一个特征值是$\lambda_1 = 1$，通过矩阵的迹可知另一个特征值是$\lambda_2= 0.9 + 0.8 - 1 = 0.7$，由此可以求得两个特征向量：
$\left(A-\lambda I\right) x=0 \Rightarrow x_{1}=\left[\begin{array}{l}{2} \\ {1}\end{array}\right], x_{2}=\left[\begin{array}{c}{-1} \\ {1}\end{array}\right]$
通解为：$u_{k}=A^{k} u_{0}=c_{1} \lambda_{1}^{k} x_{1}+c_{2} \lambda_{2}^{k} x_{2}=c_1\left[\begin{array}{l}{2} \\ {1}\end{array}\right]+0.7^kc_2\left[\begin{array}{1}{-1} \\ {1}\end{array}\right]$，不懂请点击
由初始条件可求出$c_1 = \frac{1000}{3}, c_2=\frac{2000}{3}$
由于两个特征值符合方幂运算时达到稳态的条件，所以$u_k$在k增大的过程中趋近于$c_1x_1$，即最后经过多年的迁徙，两个城市的人口趋近于定值：
$\left[\begin{array}{c}{u_{A}} \\ {u_{B}}\end{array}\right]_{t=k} = \frac{1000}{3} \left[\begin{array}{c}{2} \\ {1}\end{array}\right]$
三、带有标准正交基得投影问题
假设$q_1, q_2, ... , q_n$是$n$维空间中的一组基，任意向量$v$都可以利用$q_1, q_2, ... , q_n$来组合构建：
$v = x_1q_1 + x_2q_2 + ... + x_nq_n$
这组基是标准正交的，所以可以通过将每一项和对应的向量做内积来求得对应系数，如我们求系数$x_1$，我们在上面得等号左右同乘$q_1^T$：
$q_{1}^{T} v=x_{1} q_{1}^{T} q_{1}+x_{2} q_{1}^{T} q_{2}+\cdots+x_{n} q_{1}^{T} q_{n}=x_{1} q_{1}^{T} q_{1}=x_{1}$，注意这组基标准正交的特点，内积为0，自己内积为1
所以我们可以得到求系数$x_i$的通式：$x_i = q_i^Tv$
又因为：
$\mathbf{v}=\left[\begin{array}{lll}{\mathbf{q}_{1}} & {\cdots} & {\mathbf{q}_{n}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x_{1}} \\ {\vdots} \\ {x_{n}}\end{array}\right]$
即：
$v = Qx$，所以$x = Q^{-1}V$
又因为$Q$为标准正交矩阵，所以$Q^{-1} = Q^T$：
$x = Q^Tv$
这与我们之前得到的$x_i = q_i^Tv$完全相同。
这里给出了求分量的思路：就是用空间的一组标准正交基去点乘目标向量，利用其标准正交的性质得到所求，标准正交是此处的核心概念。而傅里叶级数也是在这个概念上构建的。我们可以对任意函数做傅里叶展开，得到表达式
四、傅里叶级数