对称矩阵的对角化

对称矩阵的对角化(方阵)

对称矩阵的一些性质：
1：对称矩阵的特征值为实数
2：设$\lambda_1$和$\lambda_2$是对称矩阵$A$的两个特征值，$\mathbf{p}_1$，$\mathbf{p}_2$是对应的特征向量，若$\lambda_1\neq\lambda_2$,则$\mathbf{p}_1$和$\mathbf{p}_2$正交

定理：
设$A$为$n$阶对称矩阵，则必有正交矩阵$P$使得，$P^{-1}AP=P^{T}AP=\Lambda$其中$\Lambda$是以$A$的$n$个特征值为对角元的对角矩阵

推论：
设$A$为$n$阶对称矩阵，$\lambda$是$A$的特征方程的$k$重根，则矩阵$A-\lambda E$的秩$R(A-\lambda E)=n-k$，从而对应的特征值$\lambda$恰好有$k$个线性无关的特征向量。

奇异值分解(不是方阵)

假设$A$是一个$m\times n$,其中$m>n$(这个假设只是为了方便，如果$m<n$，所有结论依然成立)。
我们给出一种方法，确定$A$是如何接近一个较小秩的矩阵。
这种方法包括将$A$分解为一个乘积$U\Sigma V^T$,其中$U$是一个$m\times m$的正交矩阵，$V$是一个$n\times n$的正交矩阵，$\Sigma$是一个$m\times n$的矩阵，其对角下的所有元素为$0$,且对角线元素满足

$$\sigma_1\geq\sigma_2\geq\cdots\geq\sigma_n\geq0$$
$$\Sigma=\begin{pmatrix}\sigma_1&&&\\ &\sigma_2&&\\ &&\ddots&\\ &&&\sigma_n\\\end{pmatrix}$$
采用这种因式分解得到的 $\sigma_i$是唯一的，并且称 $A$的奇异值。
因式分解 $U\Sigma V^T$称为 $A$的奇异值分解