矩阵可对角化的那些事——blog2

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小唠嗑

昨天在看Numerical opimization 中证明Kantorovich不等式时需要用到高等代数中矩阵可对角化的一些知识，但是自己似乎对于它的记忆有些模糊了，所以重新回顾了一下。怕自己今后忘记，又到处费劲找资料，便打算写到这。let’s begin!

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定理1:矩阵$A$可对角化的充要条件是$A$有$n$个线性无关的特征向量

小定理1:矩阵$A$可对角化等价于矩阵$A$与一个对角矩阵相似

证明：$$A可对角化\iff P^{-1}AP=diag({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n）\iff AP=Pdiag({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)$$
不妨设 $P=({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)$则：$$AP=Pdiag({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)\iff (A{\alpha }_1,\dots ,A{\alpha }_n)=(P{\lambda }_1,\dots ,P{\lambda }_n)\iff A{\alpha }_i={\lambda }_i{\alpha }_i$$
即等价于$P$的每一列向量均是$A$的特征值$\lambda$对应的特征向量
又因为$P$可逆，从而${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$线性无关，从而等价于$A$存在$n$个线性无关的特征向量。
综上所述 得证。

定理2:任意$n$级实对称矩阵$A$都正交相似于一个对角矩阵

小定理2:任意实对称矩阵$A$的特征值都是实数

证明方法是对$A\lambda =\lambda \alpha$两边先取共轭再取转置，由$\overline{\lambda }=\lambda$ 可得矩阵$A$证特征值都是实数。

证明：由数学归纳法：$n=1$时显然成立，假设$n-1$级成立，考虑$n$级（对于很多证明$n$级什么矩阵$A$有什么性质都可以试试数学归纳法）
设$A$是$n$级实对称矩阵，$\lambda$是其特征值${\alpha }_1$是其对应的单位特征向量，则可以将${\alpha }_1$扩充成为$R^n$的一组标准正交基，$({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)$，令 $T=({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)$ 则：$$T^{\prime }AT=\left[\begin{array}{cc}\lambda & \alpha \\ 0& A_{n-1}\end{array}\right]$$
$\because A$是实对称矩阵， $\therefore T^{\prime }AT$也是实对称矩阵，即 $\alpha =0$。$$\therefore T^{\prime }AT{T}^{\prime }AT=\left[\begin{array}{cc}\lambda & 0\\ 0& A_{n-1}\end{array}\right]$$
由归纳假设可知：存在正交矩阵$Q_1$有$Q_1^{\prime }{A}_{N-1}{Q}_1=diag({\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n)$可令$$Q=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& Q_1\end{array}\right]$$
则：$$Q^{\prime }{T}^{\prime }ATQ=(TQ{)}^{\prime }ATQ=\left[\begin{array}{cc}\lambda & 0\\ 0& Q_1^{\prime }{A}_{n-1}{Q}_1\end{array}\right]$$
所以$A$相似于一个对角矩阵。令P=TQ，$\because T,Q均是正交矩阵$，$\therefore P$ 也是正交矩阵。
综上所述 得证。

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结尾小独白

Okey！That is my second blog. Just突然想记录一下:这篇博客就是阐述了两个高等代数当中的常用小定理，当时考研的时候对于矩阵合同，相似，正定，正交，可对角化的一些知识到现在掌握的就不是特别清晰，但是我发现数学学科对于知识的联系真的很紧密，像高等代数 数学分析 以及泛函分析应该是我们进一步学习的基础，所以有时间我还是要把一些基础再巩固一下。
下一篇预告：解决blog1当中留下的两个小问题 yeah✌️