文章中的某些代码和图片来自郭彦甫老师的视频和ppt
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一：多项式微积分

1.1多项式微分

a=[9 -5 3 7];%f(x)多项式
x= -2:0.01:5;%x的取值范围
f=polyval(a,x);%f(x)在x范围内的取值
plot(x,f,‘LineWidth’,2);%画图，线宽取2）
xlabel(‘x’);ylabel(‘f(x)’);%命名
set(gca,‘FontSize’,14);%修改坐标轴的性质
polyder(a);%获得微分后的向量
k=polyval(polyder(a),0)%求f’(0)的值

若函数f(x)=x^3-2x-5，则表示为a=[1 0 -2 -5]
polyval(a,x) ：求一定范围内的x对应f(x0的取值
polyder(a) ：求微分之后的向量

u=[5 -7 5 10];v=[4 12 -3];
w=conv(u,v);%卷积
x=-2:0.1:1;
f=polyval(w,x);%x值对应的f值
w1=polyder(w);%微分后的向量
f1=polyval(w1,x);%微分后对应的f值
hold on
plot(x,f,‘b:’,‘LineWidth’,2);
plot(x,f1,‘r–’,‘Linewidth’,2);
hold off
legend(‘f(x)’,‘f‘(x)’);

卷积 w=conv(u，v)，其中u和v分别是有限长度序列向量，w是u和v的卷积结果序列向量。

1.2多项式积分

p=[5 0 -2 0 1];
polyint(p,3)% 当k=3时，得到积分后的向量
polyval(polyint(p,3),7)%x=7时的积分值

polyint() 积分后的向量

二：数值微积分

2.1数值微分

2.1.1一次微分

x=[1 2 5 2 1]
diff(x) %求前后两个值的差
ans =

 1     3    -3    -1

如果是两个向量

x=[1 2];y=[5,7];
a=diff(y)./diff(x) %点（1,5）和（2,7）的斜率
ans=2

算某一点的斜率

x0=pi/2;
h=0.1;%h的值越小，斜率越精确
x=[x0,x0+h];
y=[sin(x0),sin(x0+h)];
m=diff(y)./diff(x)
m =
-0.0500

算一段区间里的斜率

h=0.5;%h的值越小，斜率越精确
x=0:h:2*pi;
y=sin(x);
m=diff(y)./diff(x);

练习

g=colormap(lines);
hold on
for i=1:3
x=0:power(10,-i):2*pi;
y=sin(x.^2./2);
m=diff(y)./diff(x);
plot(x(1:end-1),m,‘color’,g(i,:));
end
hold off
legend(‘h=0.1’,‘h=0.01’,‘h=0.001’);

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另

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2.1.2二次、三次微分

x=-2:0.005:2;
y=x.^3;
m=diff(y)./diff(x);
m2=diff(m)./diff(x(1:end-1));
plot(x,y,x(1:end-1),m,x(1:end-2),m2);
xlabel(‘x’,‘FontSize’,18);
ylabel(‘y’,‘FontSize’,18);
legend(‘f(x)=x.^3’,‘f’’(x)’,‘f’’’’(x)’,4);
set(gca,‘FontSize’,18);

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2.2数值积分

2.2.1三种方法

Midpoint Rule

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题目：

h=0.05; %h可换
x=0:h:2; %积分的范围是0到2
midpoint=(x(1:end-1)+x(2:end))./2;%某段的中点
y=4midpoint.^3;
s=sum(hy) %积分

Trapezoid Rule（用梯形计算）

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h=0.05; %h可换
x=0:h:2; %积分的范围是0到2
y=4x.^3;
s=htrapz(y) %trapz(y)函数计算相邻y值的平均值
或者
h=0.05; %h可换
x=0:h:2; %积分的范围是0到2
y=4x.^3;
trapezoid=(y(1:end-1)+y(2:end))/2;%计算相邻y值的平均值
s=hsum(trapezoid)

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