参考资料:【官方双语/合集】微积分的本质 - 系列合集 - 3Blue1Brown - bilibili (搭配食用体验更佳)
这篇文章中有很多内容都推荐用 数形结合 的方法来学习。
导数入门
两种重要的、针对函数的运算:求导与积分。它们的运算结果也是一个函数。
先说求导。对于函数 \(f(x)\) ,它的 导函数 (即求导运算的结果,简称导数)记作 \(f'(x)\) 。简单来说,\(f'(x_0)\) 就是\(f(x)\) 在 \(x_0\) 这点的切线斜率。即, \(f'(x)\) 是 \(f(x)\) 的切线斜率关于切点横坐标的函数。
为了方便描述,引入一个表示「微小变化量」(自己起的名字)的符号。以后默认用 \(dx\) 表示变量 \(x\) 的变化量( \(dy\) 表示变量 \(y\) 的变化量,以此类推),且 \(dx\) 趋近于 \(0\) 。那么对于 \(x_0\) 和它的函数值 \(f(x)=y\) ,设当 \(x\) 增加了 \(dx\) 时 \(y\) 增加了 \(dy\) 。由于这个变化量是「微小」(趋近于 \(0\) )的,所以 \(x\) 和 \(x+dx\) 之间的函数图象可以近似成一条直线,它的斜率就是 \(\frac{dy}{dx}\) 。因此,有时也把导函数写成 \(f'(x)=\frac{dy}{dx}\) 。注意,不同的 \(x\) 会造成 \(dy\) 取不同的值。
有点懵?先从最简单的例子——一次函数说起。显然,无论 \(x\) 如何改变,也无论 \(dx\) 取何值(哪怕不趋近于 \(0\) ) ,\(\frac{dy}{dx}\) 都是一个定值,即这个一次函数的斜率 \(k\) (换句话说,这个一次函数处处的切线都与它本身重合)。因此,一次函数的导数是一个常函数 \(f'(x)=k\) 。
再举一个稍复杂的例子。对于 \(f(x)=x^2\) ,可以这样求出它的导函数:
\[\begin{aligned} f'(x)&=\frac{dy}{dx}\\ &=\frac{f(x+dx)-f(x)}{dx}\\ &=\frac{(x+dx)^2-x^2}{dx}\\ &=\frac{2dx\cdot x+dx^2}{dx}\\ &=2x+dx\end{aligned}\]
由于 \(dx\) 趋近于 \(0\) ,所以 \(f'(x)=2x\) 。于是我们成功算出了 \(f(x)=x^2\) 的导数是 \(f'(x)=2x\) 。 鼓掌!
不妨再拓展一下,证明 \(f(x)=x^k\) 的导数是 \(f'(x)=kx^{k-1}\) 。做法和刚才类似(其中用了一次二项式定理):
\[\begin{aligned} f'(x_0)&=\frac{f(x_0+dx)-f(x_0)}{dx}\\ &=\frac{(x_0+dx)^k-x_0^k}{dx}\\ &=\frac{\sum_{i=0}^{k}C_k^ix_0^idx^{k-i}-x_0^k}{dx}\\ &=\frac{\sum_{i=0}^{k-1}C_k^ix_0^idx^{k-i}}{dx}\\ &=\sum_{i=0}^{k-1}C_k^ix_0^idx^{k-i-1} \end{aligned}\]
到这里似乎不知道怎么办了?别忘了 \(dx\) 趋近于 \(0\) ,所以只有 \(k-i-1=0\) 即 \(i=k-1\) 这一项是非 \(0\) 的!激动.jpg 。所以,\(f'(x_0)=kx_0^{k-1}\) 。
导数的运算
导数的加减
\[h(x)=f(x)+g(x),h'(x)=f'(x)+g'(x)\]
设 \(y_f=f(x)\) ,\(y_g=g(x)\) ,\(y_h=h(x)\) (类似的记号下面不再赘述) ,同时别忘了 \(f'(x)=\frac{dy_f}{dx}\) , \(g'(x)=\frac{dy_g}{dx}\) ,则有:
\[\begin{aligned} dy_h&=dy_f+dy_g\\ &=f'(x)dx+g'(x)dx\\ &=(f'(x)+g'(x))dx\end{aligned}\]
两边同时除以 \(dx\) ,得到 \(h'(x)=\frac{dy_h}{dx}=f'(x)+g'(x)\) 。
导数的乘法
\[ h(x)=f(x)g(x),h'(x)=f(x)g'(x)+f'(x)g(x) \]
口诀:「左乘右导,右乘左导」(来自文首的视频)
咕~