微积分 复习笔记

目录

• 目录
• 微积分
  • 第一章
  • 极限
    • 步骤
    • 重要极限(凑)
    • 极限的四则运算
    • 等价无穷小代换(构造)
  • 第二章
  • 微分
    • 洛必达
    • 切线
    • 隐函数求导
  • 第三章
  • 积分
    • 第一换元（凑微分法）
    • 第二换元
    • 分部积分
    • 来牛公式
    • 积分上界下界函数
    • 定积分的应用
      • 求弧长
      • 求面积
      • 求体积

微积分

微积分=微分+积分

第一章

极限

极限 微积分的基础

无穷 要多少有多少

lim 问终点站

步骤

1. 代入

   • 无穷大与无穷小成倒数关系
   • 无穷x有限依然无穷
   • 无穷的方向性（左不等于右时不存在极限）

2. 分类（1解决不了时)

   无穷小(lim->0)

   带着目的去
   每做完一步看看能不能带入

   • 化简（涉及带根号考虑完全平方/平方差）
   • 代换
   • 等价无穷小（难化简时，如含三角函数等不是一个体系的）

   无穷大

   抓大头，同时间复杂度逻辑

3. 求解

   • 化简
   • 变形
   • 洛必达

重要极限(凑)

• ${\lim }_{n\to 0}(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=e$
• ${\lim }_{n\to \infty }(1+\frac{1}{x}{)}^x=e$

极限的四则运算

前提 极限各自存在

等价无穷小代换(构造)

~x

• $sinx$
• $tanx$
• $ln(1+x)$
• $e^x-1$
• $arcsinx/tanx$

~ax

• $(1+x{)}^a-1$

待补充

两个无穷小加减时不能代换
如果想用无穷小加的，可以尝试拆开来

第二章

微分

洛必达

1. 连续
2. 可导
3. 0/0 | $\infty$ / $\infty$

切线

• 以直代曲
• dy/dx -> d无穷小记号
• 链式求导法则 -> 乘法关系
• 是否可导 -> 极限是否在x处有定义

隐函数求导

• 逐项取导
• 链式法则（清楚对谁取导）

第三章

积分

第一换元（凑微分法）

• 分母时看看可不可拆成两个相减
• 分母无解凑完全平方公式，往$\int (1+x^2)dx=arctanx+c$凑
• d中加随意，乘记得补除
• 核心： 如果一边是另一边的导数->凑微分
• 大法 看谁复杂，用其求导看看能不能凑式子

第二换元

• 记得有借有还
• 三角代换 （$a^2$ && $x^2{)}^{\frac{1}{2}}$类型
• 根式代换 换元的次方=开n平方*开m平方
• 倒代换 降分母次数，提高分子次数
• 指数代换(含$e^x$的整体代换)

分部积分

• 反对幂指三（靠后dx）

来牛公式

• ${\int }_b^{a}f(x)dx=\int f(x)dx{|}_b^a$

积分上界下界函数

${\int }_{h(x)}^{g(x)}f(t)dt=f(g(x))g^{\prime }(x)-f(h(x))h^{\prime }(x)$

定积分的应用

求弧长

$L={\int }_b^a\sqrt{1+(dy/dx{)}^2}dx={\int }_d^c\sqrt{1+(dx/dy{)}^2}dy$

求面积

• $S={\int }_b^a|x|dx$
• ${\int }_b^a(f(x)-g(x))dx$ 关于x
• ${\int }_b^a(f(u)-g(u))dy$ 关于y
• 画图
• 判断关于x/y
• 分区域判断谁在上面谁在下面
• y型改写成x是y的函数

求体积

• ${\int }_b^{a}A(x)dx$ ————A(x)横截面
• 差同求面积