Matlab—数值微积分

polyva()

多项式计算在理工科教学、科研中有着特殊地位和意义。matlab 作为重要的工程计算软件也给出了相应的计算指令来完成这一工作。其中就有多项式求值 polyval 函数，其调用格式为：y = polyval(p,x);，返回 n 次多项式 p 在 x 处的值

• p：一个长度为 n+1 的向量，其元素为按降幂排列的多项式系数
• x：可以是一个矩阵或者一个向量，在这两种情况下，polyval 计算在 x 中任意元素处的多项式 p 的估值

例如： $9x^3-5x^2+3x+7$

polyder()

多项式求微分函数 polyder，其调用格式为：

• k = polyder(p)：返回多项式 p 的微分表达式的系数
• k = polyder(a,b)：返回多项式 a 和 b 乘积的微分表达式的系数
• [q,d] = polyder(b,a)：返回多项式 a 和 b 微分商 b/a 的分子 q 和分母 d

例如： $(3x^2+6x+9)(x^2+2x)$

polyint()

多项式积分函数 polyint，其调用格式为：polyint(p,c);，p 是多项式对应的系数，c 是常数项（可以任意指定）

例如： $5x^4-2x^2+1$

dif()

上面我们讲的都是多项式的一些数值计算的方法，如果不是多项式如何计算呢，举个栗子，如何求 sin(x) 在某一点的微分，这时就需要微分的定义
$f'(x_0) = \displaystyle\lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}$
其实我们只要知道两个点，一个(x0,f(x0))，另一个(x0+h,f(x0+h))

这里涉及到一个函数 diff，其调用格式为：Y=diff(X)。X 是一个 m 维的向量，那么 Y 返回的是一个 m-1 维的向量，其中 Y 的元素分别是 X 相邻元素之间的差值，即Y=[X(2)-X(1) X(3)-X(2) ... X(m)-X(m-1)]；X 是一个非空的 m*n 的矩阵，那么 Y 返回的是一个 (m-1)*n 的矩阵，其中 Y 的元素分别是 X 行与行之间的差值，Y=[X(2,:)-X(1,:) X(3,:)-X(2,:) ... X(m,:)-X(m-1,:)]。下面就给出代码，求sin(x) 在 x = pi/2 时的微分

x0 = pi / 2;
h = 0.1;
x = [x0,x0 + h];
y = [sin(x0),sin(x0+h)];
m = diff(y) / diff(x)

得到的答案显然不等于0，这时因为h太大了，可以将h不断缩小，得出来的值也会不断接近 0

integral()

integral 函数的作用是求定积分，其调用格式为：integral(fcn handle,x0,x1);，fcn handle 是函数句柄，x0 表示积分下限，x1 表示积分上限

y = @(x)sin(x);
integral(y,0,2*pi);

函数句柄的格式为：@(自变量)函数体，可以把@(自变量)当成是d(自变量)，只不过放到前面去了

integral2()

二重积分函数integral2()，调用格式类似 integral，直接给出示例
$f(x,y) = \int_{0}^{\pi} \int_{\pi}^{2\pi}(y\cdot sin(x) + x\cdot cos(y))\text{d}x{d}y$

f = @(x,y)y.*sin(x)+x.*cos(y);
integral2(f,pi,2*pi,0,pi);

integral3()

三重积分函数integral3()，调用格式类似integral
$f(x,y,z) = \int_{-1}^{1} \int_{0}^{1} \int_{0}^{\pi}(y\cdot sin(x) + z\cdot cos(y))\text{d}x{d}y{d}z$

f = @(x,y,z)y.*sin(x)+z.*cos(y);
integral3(f,0,pi,0,1,-1,1)