机器学习的微积分基础

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梯度

一个点的切线的斜率与法线的斜率相乘等于-1

证明：斜率 $k_1=tan\theta$， $\theta$ 是倾斜角，对应的法线的倾斜角为 $\theta+90$，那么
$k_1 * k_2=tan\theta * tan(\theta+90)=tan\theta * (-cot\theta)=-1$

直线的点法式方程

函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数 $f'(x_0)$ 在几何上表示曲线 $y=f(x)$ 在点 $M(x_0,f(x_0))$ 处的切线的斜率，即
$f'(x_0)=tan\alpha$
其中 $α$ 是切线的倾角.
根据导数的几何意义并应用直线的点斜式方程，可知曲线 $y=f(x)$ 在点 $M(x_0,y_0)$ 处的切线方程为
$y - y_0=f'(x_0)(x - x_0)$
过切线 $M(x_0, y_0)$ 且与切线垂直的直线叫做曲线 $y=f(x)$ 在点 $M$ 处的法线.如果 $f'(x_0)≠0$，法线的斜率为 $-\frac{1}{f'(x_0)}$，从而法线方程为
$y - y_0 = -\frac{1}{f'(x_0)}(x - x_0)$
切线斜率与法线斜率相乘等于 $-1$ 。

等值线的法向量

注意：这部分内容必须先看到下文的梯度定义以后再看
设方程 $f(x, y) = k$ 确定了隐函数 $y=y(x)$ ，将此函数代入回原方程，得恒等式：
$f(x,y(x))\equiv 0$
等式两端对 $x$ 求导：
$f_x \cdot 1 + f_y \cdot y'(x)=0$
得： $y'(x)=-\frac{f_x}{f_y}$
等值线 $f(x, y) = k$ 在一点 $(x, y)$ 处的法线斜率为：
$k=-\frac{1}{y'(x)}=\frac{f_y}{f_x}$
故等值线 $f(x, y)=k$ 在一点 $(x, y)$ 处的法线向量为：
$\{1, \frac{f_y}{f_x}\}\text{ 或 } \{f_x, f_y\}=\nabla f(x, y)$
这正好是函数 $f(x, y)$ 在 $(x, y)$ 处的梯度。所以，函数 $f(x, y)$ 在 $(x, y)$ 处的梯度垂直于函数经过该点的等值线。 因此，等值线的单位法向量可表示为：
$\frac{\nabla f(x, y)}{|\nabla f(x, y)|}$

方向导数

空间直角坐标系

梯度

点到（超）平面的距离

平面方程

平面外一点到平面的距离

为防止大家忘记向量的点积（数量积），先复习数量积，在求解 平面外一点到平面的距离会用到。

泰勒公式

1. 参考wiki：Tailor’s theorem

2. 《高等数学》，同济版上册（一元泰勒公式），同济版下册（二元泰勒公式）

引用

1. 《高等数学》，同济版上册
2. 《高等数学》，同济版下册