2024线性代数复习——矩阵代数

相似矩阵：存在可逆矩阵 $P$，使得 $P^{-1}AP=B$，则称矩阵 $A$，$B$ 相似，特征值相等。注意只有相似矩阵 $B$ 是对角阵，我们才说它是可以相似对角化的。

$A$ 可以相似对角化 $\stackrel{充要条件}{\iff }$ 是 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量，且对角线的值就是特征值。

$A$ 可以正交对角化 $\stackrel{充要条件}{\iff }$ 是 $A$ 是实对称矩阵。对称矩阵对应于不同特征值的特征向量是正交的，这就可以构造出单位正交基，满足 $P^T$=$P^{-1}$。

矩阵等价：对同型矩阵 $A$、$B$，存在可逆阵 $P$ 和 $Q$，使得 $B=PAQ$

矩阵合同：对同型方阵 $A$、$B$，存在可逆阵 $P$ 使得 $B=PA{P}^T$

下面是为什么，初等行变换不改变矩阵秩的说明：

定义 ${\mathbb{R}}^n$ 中的一个子空间是 ${\mathbb{R}}^n$ 中的集合 $H$，具有以下三个性质：
a. 零向量属于 $H$.
b .对 $H$ 中任意的向量 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$, 向量 $\mathbf{u}+\mathbf{v}$ 属于 $H$
c. 对 $H$ 中任意向量 $\mathbf{u}$ 和数 $c$, 向量 $c\mathbf{u}$ 属于 $H$.

定义 矩阵 $A$ 的列空间（记为 $\mathrm{Col}A$）是 $A$ 的各列的线性组合的集合。

若 $A=\left[{\mathbf{a}}_1\cdots {\mathbf{a}}_n\right]$，它们各列属 则 和 相同。注意，仅当 的列生成时， Col A 等千贮．否则， Col A 仅是丁的一部分。

定义 矩阵 $A$ 的零空间是齐次方程 $A\mathbf{x}=0$ 的所有解的集合，记为 $\mathrm{Nul}A$ .

定义 矩阵 $A$ 的秩（记为 $\mathrm{rank}A$）是 $A$ 的列空间的维数。

max ⁡ { R ( A ) , R ( B ) } ≤ R ( A , B ) ≤ R ( A ) + R ( B ) \max \{R(A), R(B)\} \leq R(A, B) \leq R(A)+R(B) max{ R(A),R(B)}≤R(A,B)≤R(A)+R(B)

$$R(A+B)\le R(A)+R(B)$$

r ( A ) + r ( B ) − n < = r ( A B ) < = min ⁡ { r ( A ) , r ( B ) } r(A)+r(B)-n<=r(A B)<=\min \{r(A), r(B)\} r(A)+r(B)−n<=r(AB)<=min{ r(A),r(B)}

公式的证明可以参考高等代数（北大版）第五版第四章，附加题第10题，学习网址。

$$\mathbf{A}\mathbf{B}=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathbf{\beta }}_1\\ {\mathbf{\beta }}_2\\ ⋮\\ {\mathbf{\beta }}_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{a}_{11}{\mathbf{\beta }}_1+a_{12}{\mathbf{\beta }}_2+\cdots +a_{1n}{\mathbf{\beta }}_n\\ a_{21}{\mathbf{\beta }}_1+a_{22}{\mathbf{\beta }}_2+\cdots +a_{2n}{\mathbf{\beta }}_n\\ ⋮\\ a_{m1}{\mathbf{\beta }}_1+a_{m2}{\mathbf{\beta }}_2+\cdots +a_{mn}{\mathbf{\beta }}_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\mathbf{\gamma }}_1\\ {\mathbf{\gamma }}_2\\ ⋮\\ {\mathbf{\gamma }}_m\end{array}\right]$$

定义 ${\mathbb{R}}^n$ 中子空间 $H$ 的一组基是 $H$ 中一个线性无关集，它生成 $H$.

$${\mathbf{e}}_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right],{\mathbf{e}}_2=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ ⋮\\ 0\end{array}\right],\cdots ,{\mathbf{e}}_n=\left[\begin{array}{c}0\\ ⋮\\ 0\\ 1\end{array}\right]$$

{ e 1 , ⋯   , e n } \left\{\boldsymbol{e}_{1}, \cdots, \boldsymbol{e}_{n}\right\} { e1​,⋯,en​} 称为 ${\mathbb{R}}^n$ 的标准基。

定理13 矩阵 $A$ 的主元列构成 $A$ 的列空间的基．

子空间的维数

可以证明，若子空间 $H$ 有一组基包含 $p$ 个向量，则$H$ 的每个基都正好包含 $p$ 个向量.

可以假设向量 ${\mathbf{b}}_1,\dots ,{\mathbf{b}}_p$ 生成一个子空间 $W$，令 { a 1 , ⋯   , a q } \left\{\boldsymbol{a}_{1}, \cdots, \boldsymbol{a}_{q}\right\} { a1​,⋯,aq​} 是任一 $W$ 中包含多于 $p$ 个向量的向量集。可以证明存在 $\mathbf{u}$，使得 $A\mathbf{u}=0$。

$n$ 阶行列式的定义 ：基于 逆序数 $\tau$，如果一个较大的数排在一个较小的数 前，就称这两个数构成一个逆序，这个排列中所有逆序的总个数称为逆序数。所有取自不同行不同列的 $n$ 个元乘积的代数和：

$$|\mathbf{A}|=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=\sum _{j_1,j_2,\cdots ,j_n}(-1{)}^{\tau \left(j_1,j_2,\cdots ,j_n\right)}{a}_{1j_1}{a}_{2j_2}\cdots a_{n{j}_n}$$

$|A|=0$ 是奇异矩阵，它的列向量线性相关。

定理

令 A 是一个方阵，

1. 若 $A$ 某一行的倍数加到另一行得到矩阵 $B$，则 $\det A=\det B$。
2. 若 $A$ 的两行互换得到矩阵 $B$，则 $\det A=-\det B$
3. 若 $A$ 的某一行乘以 $k$ 倍得到矩阵 $B$，则 $\det A=k\cdot \det B$

向量空间

设 $V$ 是由 $n$ 维向量构成的非空集合且满足：

1. 对于任意的 $\alpha ,\beta \in V$，有 $\alpha +\beta \in V$
2. 对于任意的 $\alpha \in V$ 以及任意的实数，有 $k\alpha \in V$

则称集合 $V$ 为 $n$ 维向量空间（ 即： 一个非空n 维向量的集合 $V$ 耍构成一个向量空间， 必须满足加法和数乘运算的封闭性。 ）

定义 向量空间的子空间除了乘法和加法的封闭性之外，还需要额外满足零向量在子空间中。

向量空间的基

如果向量空间 $V$ 中的 $m$ 个向量 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$ ，满足：

1. ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$ 线性无关
2. $V$ 中的任一向量 $\alpha$ 都可由 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$ 线性表示

则称向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$ 为向量空间 $V$ 的一个基，且基向量的个数 $m$ 称为向量空间 V 的维数，记为 $\dim V$

坐标系：设 A = { α 1 , α 2 , ⋯   , α m } \mathcal{A}=\{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\} A={ α1​,α2​,⋯,αm​} 是 $m$ 维向空间 $V$ 的一个基， 对 $\beta \in V$，有

$$\beta =x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2+\cdots +x_m{\alpha }_m$$

则称坐标向量 $(x_1,x_2,\cdots ,x_m{)}^T$ 为 $\beta$ 在基 $\mathcal{A}$ 下的坐标。

特征值的性质

$$\det (A-\lambda I)=a_0+a_1\lambda +\dots +a_n{\lambda }^n$$

根据韦达定理，设复系数一元 $n$ 次方程 $a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0=0$ 的根为 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$，则成立：

$$\begin{array}{rl}{x}_1+x_2+\cdots +x_n& =\sum _{i=1}^n{x}_i=-\frac{a_{n-1}}{a_n}\\ x_1{x}_2\cdots x_n& =\prod _{i=1}^n{x}_i=(-1{)}^n\frac{a_0}{a_n}\end{array}$$

根据该定理可以很容易得到两个结论：

1. ${\prod }_{i=1}^n{\lambda }_i=|A|$
2. ${\sum }_{i=1}^n{a}_{ii}={\sum }_{i=1}^n{\lambda }_i$