2020牛客寒假算法基础集训营2——C.算概率【DP】

题目传送门

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题目描述

牛牛刚刚考完了期末，尽管 牛牛 做答了所有 $\text{}n$ 道题目，但他不知道有多少题是正确的。
不过，牛牛 知道第 $\text{}i$ 道题的正确率是 $p_i$ 。
牛牛 想知道这 $n$ 题里恰好有 $0,1,\dots,n$ 题正确的概率分别是多少，对 $10^9+7$ 取模。
对 $10^9+7$ 取模的含义是：对于一个 $b\neq 0$ 的不可约分数 $a\over $，存在 $\text{}q$ 使得 $b\times q \bmod (10^9+7) =a$ ， $\text{}q$ 即为 $a\over b$ 对 $10^9+7$ 取模的结果。

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输入描述:

第一行，一个正整数 $\text{}n$ 。
第二行， $\text{}n$ 个整数 $p_1,p_2,\dots,p_n$，在模 $10^9+7$ 意义下给出。
保证 $1\leq n\leq 2000$。

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输出描述:

输出一行 $\text{}n+1$ 个用空格隔开的整数表示答案（对 $10^9+7$ 取模）。

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输入

1
500000004

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输出

500000004 500000004

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说明

有 1 道题，做对的概率是 $1 \over 2$ （ $1 \over 2$ $在模 10^9+7 意义下为 500000004$ ）。

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题解

• 定义 $dp[i][j]表示：前i道题做对j道的概率$
• 转移时考虑第j道题是否做对，转移方程为： $dp[i][j]=dp[i-1][j]*(1-p_i)+f[i-1][j-1]*p_i$。
• 时间复杂度 $O(n^2)$ 。

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AC-Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int maxn = 2005 + 7;
const int mod = 1e9 + 7;

ll dp[maxn][maxn];	// 前i道题作对j道的概率

ll a[maxn];
int main() {
	int n;	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; ++i)	cin >> a[i];
	for (int i = dp[0][0] = 1; i <= n; ++i) {
		dp[i][0] = dp[i - 1][0] * (mod + 1 - a[i]) % mod;
		for (int j = 0; j <= n; ++j) {
			dp[i][j] = (dp[i - 1][j] * (mod + 1 - a[i]) + dp[i - 1][j - 1] * a[i]) % mod;
		}
	}
	for (int i = 0; i <= n; ++i)
		cout << dp[n][i] << " ";
}