2020牛客寒假算法基础集训营2——H.施魔法【DP】

题目传送门

---

题目描述

牛可乐有 n 个元素( 编号 1…n )，第 i 个元素的能量值为 $a_i$ 。
牛可乐可以选择至少k 个元素来施放一次魔法，魔法消耗的魔力是这些元素能量值的极差。形式化地，若所用元素编号集合为 S，则消耗的魔力为 $\max_{i\in S}\{a_i\}-\min_{i\in S}\{a_i\}$。

牛可乐要求每个元素必须被使用恰好一次。
牛可乐想知道他最少需要多少魔力才能用完所有元素，请你告诉他。

---

输入描述:

第一行两个正整数 $\text{}n, k$ 。

第二行 n 个整数 $a_1,a_2,\dots,a_n$。

保证 $1\leq k\leq n\leq 3\times 10^5$， $0\leq a_i\leq 10^9$。

---

输出描述:

输出一行，一个整数表示答案。

---

输入

4 2
8 7 114514 114513

---

输出

2

---

说明

使用第 1、2 个元素施放一次魔法，消耗魔力为 8-7=1；第 3、4 个元素施放一次魔法，消耗魔力为 114514-114513=1；两个魔法一共消耗 2 点魔力。

---

题解

• 先将元素按能量值排序，下文默认已排序。

• 可以证明存在一个最优方案，满足每个魔法一定消耗一段连续的元素。

• 注意是至少取 $k$ 段，那么从 $k+1$ 开始DP

• 定义 $dp[i]代表：前 i 项最优解$，那么可以得到，对于任意位置：

  1. 是拓展前面，从长度 $m$ 变成 $m+1$； $(数学归纳法思想，任意位置肯定都是合法的，m>=k成立)$
  2. 断开前面，从当前位置往前 $k-1$ 项，和当前第 $i$ 项，组成长度为 $k$ 的序列。

• $时间复杂度 O(N-K)$

---

#AC-Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 3e5 + 5;


ll a[maxn];
ll dp[maxn];
int main() {
	int n, k;	cin >> n >> k;
	for (int i = 1; i <= n; ++i)	dp[i] = LLONG_MAX, cin >> a[i];
	sort(a + 1, a + 1 + n);
	dp[k] = a[k] - a[1];
	for (int i = k + 1; i <= n; ++i)
		dp[i] = min(dp[i - 1] - a[i - 1] + a[i], dp[i - k] + a[i] - a[i - k + 1]);
	cout << dp[n] << endl;
}