《线性代数：矩阵》：伴随矩阵

其他 2020-01-29 11:55:33 阅读次数: 0

一、定义

矩阵 A 的行列式 |A| 所有的代数余子式所构成的形如

$\begin{bmatrix} A_{11} &A_{21} &. &. &. & A_{n1}\\ A_{12} &A_{22} &. &. &. & A_{n2}\\ .& .& & & &. \\ .& .& & & & .\\ .& . & & & & .\\ A_{1n} &A_{2n} &. &. &. & A_{nn} \end{bmatrix}$

的矩阵称为矩阵 A 的伴随矩阵，记为 $A^{*}$

二、性质

对任意 n 阶方阵 A，都有伴随矩阵。

$\\ AA^{*}=A^{*}A=|A|E$

$|A^{*}|=|A|^{n-1}$

$A^{*}=|A|A^{-1}$

$A^{-1}=\frac{A^{*}}{|A|}$

$A=|A|(A^{*})^{-1}$

$(A^{T})*=(A^{*})^{T}$

$(kA)^{*}=k^{n-1}A^{*}$

$(A^{*})^{*}=|A|^{n-2}A$

$|(A^{*})^{*}|=|A|^{(n-1)^{2}}$

$(AB)^{*}=B^{*}A^{*}$

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